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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam a, b, c, d \in \mathbb{R}. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d - 140 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d - b é

  1. A
    -140.
  2. B
    -120.
  3. C
    0.
  4. D
    120.
  5. E
    140.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Seja q a razão da PG: b=aq, c=aq^2, d=aq^3.

Na PA, os termos são a, \frac{aq}{2}, \frac{aq^2}{4}, aq^3-140. A diferença entre termos consecutivos é constante (razão r).

  1. Primeira razão: r=\frac{aq}{2}-a=a\left(\frac{q-2}{2}\right).
  2. Segunda razão: r=\frac{aq^2}{4}-\frac{aq}{2}=\frac{aq(q-2)}{4}.

Igualando: \frac{a(q-2)}{2}=\frac{aq(q-2)}{4}. Daí a(q-2)(q-2)=0, ou seja, a(q-2)^2=0.

Como a=0 daria PG toda nula, e então a PA seria 0,0,0,-140, que não é PA, temos q=2.

Com q=2, a razão da PA é r=0, então todos os termos da PA são iguais a a:

d-140=a \Rightarrow 8a-140=a \Rightarrow a=20.

Conferindo: PG 20,40,80,160; PA 20,20,20,20. Correto.

Logo b=40 e d=160, e d-b=120.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor negativo sem relação com a conta; confunde o 140 do enunciado com o resultado.
  • BApenas o sinal trocado de 120, resultado de inverter d-b para b-d.
  • CSupõe a=0 ou PG constante, o que não satisfaz a PA com o termo d-140.
  • EConfunde com o número 140 do enunciado, sem resolver o sistema.

Assuntos: Progressão geométrica, Progressão aritmética.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗