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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

O número de soluções da equação (1 + \sec\theta)(1 + \operatorname{cossec}\theta) = 0, com \theta \in [-\pi, \pi], é

  1. A
    0.
  2. B
    1.
  3. C
    2.
  4. D
    3.
  5. E
    4.
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Resolução comentada

Um produto é zero quando um dos fatores é zero, desde que todas as funções estejam definidas. Então resolvemos cada fator e depois conferimos o domínio.

  1. Primeiro fator: 1+\sec\theta=0 \Rightarrow \sec\theta=-1 \Rightarrow \cos\theta=-1. Em [-\pi,\pi], isso dá \theta=-\pi e \theta=\pi.

  2. Segundo fator: 1+\operatorname{cossec}\theta=0 \Rightarrow \operatorname{cossec}\theta=-1 \Rightarrow \sen\theta=-1. Em [-\pi,\pi], isso dá \theta=-\dfrac{\pi}{2}.

  3. Domínio: a secante exige \cos\theta\neq0 e a cossecante exige \sen\theta\neq0, pois ambas precisam existir para o produto fazer sentido.

  • Em \theta=\pm\pi: \sen(\pm\pi)=0, então a cossecante não existe. Essas raízes são descartadas.
  • Em \theta=-\dfrac{\pi}{2}: \cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0, então a secante não existe. Essa raiz também é descartada.

Nenhuma das três candidatas pertence ao domínio da equação, portanto ela não tem solução.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana: os fatores dão 3 raízes (−π, π e −π/2), mas todas anulam o seno ou o cosseno, então fora do domínio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BConta só \theta=-\pi/2 (ou uma única raiz), sem notar que a secante não existe nesse ponto.
  • CConta \theta=\pm\pi e esquece que a cossecante não é definida onde \sen\theta=0.
  • DSoma as três raízes dos fatores sem verificar o domínio das duas funções.
  • ENão há quatro raízes possíveis; superestima as soluções ao ignorar as restrições de domínio.

Assunto: Equações e inequações trigonométricas.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗