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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

O lugar geométrico dos pontos (a, b) \in \mathbb{R}^2 tais que a equação, em z \in \mathbb{C},

z^2 + z + 2 - (a + ib) = 0

possua uma raiz puramente imaginária é

  1. A
    uma circunferência.
  2. B
    uma parábola.
  3. C
    uma hipérbole.
  4. D
    uma reta.
  5. E
    duas retas paralelas.
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Resolução comentada

Uma raiz puramente imaginária tem a forma z = iy, com y \in \mathbb{R} (aqui y \neq 0 ou y=0; vamos ver depois). Substituímos na equação e separamos parte real e parte imaginária.

  1. z^2 = (iy)^2 = -y^2, então a equação fica -y^2 + iy + 2 - a - ib = 0.
  2. Parte real: -y^2 + 2 - a = 0, logo a = 2 - y^2.
  3. Parte imaginária: y - b = 0, logo y = b.
  4. Substituindo y = b na primeira relação: a = 2 - b^2.

O lugar geométrico é a = 2 - b^2, ou seja, b^2 = 2 - a, que é uma parábola com eixo horizontal e vértice em (2, 0).

Sobre o caso y = 0 (raiz nula, que não é puramente imaginária): ocorreria em b = 0, a = 2, um único ponto, o vértice. A rigor, esse ponto seria excluído, mas o lugar geométrico continua sendo a parábola.

Portanto, o conjunto dos pontos (a,b) está sobre uma parábola.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUma circunferência exigiria termos a^2 e b^2 juntos; aqui só b aparece ao quadrado.
  • CUma hipérbole exigiria a^2 e b^2 com sinais opostos, ou o produto ab; não é o caso.
  • DUma reta seria uma relação linear entre a e b, mas aparece b^2.
  • EDuas retas paralelas viriam de algo como (b-k)(b-m)=0, o que não ocorre.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Números complexos.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗