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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seis circunferências de raio 5\text{ cm} são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo. O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm,

Seis circunferências com centros nos vértices de um hexágono regular, tangentes entre si duas a duas, envolvidas externamente por uma correia fechada tensionada.

  1. A
    18 + 3\pi.
  2. B
    30 + 10\pi.
  3. C
    18 + 6\pi.
  4. D
    60 + 10\pi.
  5. E
    36 + 6\pi.
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Resolução comentada

Como as circunferências são tangentes duas a duas, a distância entre centros vizinhos é 2r = 10\ \text{cm}. Logo, o hexágono regular dos centros tem lado 10\ \text{cm}.

A correia tem dois tipos de trecho:

  1. Trechos retos: cada um é paralelo a um lado do hexágono e tem o mesmo comprimento, 10\ \text{cm}. São 6 trechos, então 6 \cdot 10 = 60\ \text{cm}.

  2. Trechos curvos: em cada circunferência a correia cobre um arco. O ângulo desse arco é o ângulo externo do hexágono, 360^\circ/6 = 60^\circ. Isso vale porque, entre dois trechos retos consecutivos, a direção da correia gira exatamente o ângulo externo. Como são 6 circunferências, os arcos somam 6 \cdot 60^\circ = 360^\circ, ou seja, uma circunferência completa de raio 5:

2\pi \cdot 5 = 10\pi\ \text{cm}

Comprimento total:

60 + 10\pi\ \text{cm}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa valores sem relação com o lado de 10 cm e o raio 5 cm; não corresponde ao cálculo dos trechos retos e curvos.
  • BErra a parte reta, usando 30 cm em vez de 6 lados de 10 cm (60 cm).
  • CValores sem base geométrica: nem a parte reta (60) nem a curva (10π) estão corretas.
  • EParte reta e curva incorretas; confunde lado do hexágono e comprimento dos arcos.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗