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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30\text{m} de distância; o segundo, a 40\text{m}; o terceiro alvo, a 60\text{m}. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2/3, então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é

  1. A
    \dfrac{120}{160}.
  2. B
    \dfrac{119}{154}.
  3. C
    \dfrac{110}{144}.
  4. D
    \dfrac{105}{135}.
  5. E
    \dfrac{119}{144}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Se a probabilidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância, então p = \dfrac{k}{d^2}, com k constante.

  1. Primeiro alvo: \dfrac{k}{30^2} = \dfrac{2}{3}, logo k = 900\cdot\dfrac{2}{3} = 600.

  2. Segundo alvo: p_2 = \dfrac{600}{40^2} = \dfrac{600}{1600} = \dfrac{3}{8}.

  3. Terceiro alvo: p_3 = \dfrac{600}{60^2} = \dfrac{600}{3600} = \dfrac{1}{6}.

Para "acertar ao menos um", é mais fácil calcular o complementar: errar os três alvos. Supondo os tiros independentes, multiplicamos as probabilidades de errar cada um:

  • erro no 1º: 1-\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}
  • erro no 2º: 1-\dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}
  • erro no 3º: 1-\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}
P(\text{errar todos}) = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{144}

Portanto:

P(\text{ao menos um}) = 1 - \dfrac{25}{144} = \dfrac{119}{144}

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as probabilidades 2/3, 3/8 e 1/6; não resulta de 1-\frac{25}{144}.
  • BDenominador 154 não aparece no cálculo; o produto dos erros tem denominador 144.
  • CNumerador 110 vem de erro na subtração; o correto é 144-25=119.
  • D105/135 não corresponde a nenhum cálculo válido com as probabilidades encontradas.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗