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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja ABC um triângulo cujos lados \overline{AB}, \overline{AC} e \overline{BC} medem 6\ \text{cm}, 8\ \text{cm} e 10\ \text{cm}, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado \overline{BC} tais que \overline{AM} é a altura relativa a \overline{BC} e N é o ponto médio de \overline{BC}. A área do triângulo AMN, em \text{cm}^2, é

  1. A
    3{,}36.
  2. B
    3{,}60.
  3. C
    4{,}20.
  4. D
    4{,}48.
  5. E
    6{,}72.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como 6^2+8^2=36+64=100=10^2, o triângulo é retângulo em A, e a hipotenusa é BC=10.

Conceito: em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa vale h=\dfrac{\text{cateto}_1\cdot\text{cateto}_2}{\text{hipotenusa}}, e o ponto médio da hipotenusa é o circuncentro, então NA=NB=NC=5.

  1. Altura: AM=\dfrac{6\cdot 8}{10}=4{,}8\ \text{cm}.

  2. Posição de M: pela relação AB^2=BM\cdot BC, temos 36=BM\cdot 10, logo BM=3{,}6\ \text{cm}.

  3. Como N é o ponto médio, BN=5, então MN=BN-BM=5-3{,}6=1{,}4\ \text{cm}.

  4. O triângulo AMN é retângulo em M, com base MN e altura AM:

\text{Área}=\dfrac{MN\cdot AM}{2}=\dfrac{1{,}4\cdot 4{,}8}{2}=\dfrac{6{,}72}{2}=3{,}36\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem multiplica base por altura (1{,}4\cdot4{,}8=6{,}72) e esquece de dividir por 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com as medidas obtidas; não decorre de MN=1{,}4 e AM=4{,}8.
  • CNão corresponde a nenhuma combinação correta dos segmentos do triângulo.
  • DValor sem base em MN e AM corretos, provavelmente de erro na posição de M.
  • EEsquece de dividir por 2, calculando MN\cdot AM em vez da área do triângulo.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗