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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere a equação (a - bi)^{501} = \frac{2(a + bi)}{(a^2 + b^2)^{250} + 1}.

O número de pares ordenados (a, b) \in \mathbb{R}^2 que satisfazem a equação é

  1. A
    500.
  2. B
    501.
  3. C
    502.
  4. D
    503.
  5. E
    504.
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Resolução comentada

Seja z = a+bi, com |z| = r. Então a-bi=\bar z e a^2+b^2=r^2, e a equação fica \bar z^{501} = \dfrac{2z}{r^{500}+1}.

Caso z=0: os dois lados valem 0, então (0,0) é solução.

Caso z\neq 0: tomando o módulo dos dois lados:

r^{501} = \frac{2r}{r^{500}+1} \Rightarrow r^{500}(r^{500}+1)=2.

Com t=r^{500}>0: t^2+t-2=0, logo t=1 (a raiz -2 não serve). Assim r=1.

Com |z|=1, vale \bar z = 1/z e o lado direito é \dfrac{2z}{2}=z. A equação vira:

\bar z^{501}=z.

Multiplicando por z^{501} e usando z\bar z=1: 1 = z^{502}.

As soluções de z^{502}=1 são as 502 raízes da unidade, todas com módulo 1. Cada uma satisfaz a equação original, pois o caminho é reversível: z^{502}=1 \Rightarrow \bar z^{501}=z.

Total de pares: 502 + 1 (a origem) = 503.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem resolve só z^{502}=1 e esquece que z=0 também satisfaz a equação original.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANúmero sem relação com a contagem; não corresponde nem às raízes nem à origem.
  • BErra o expoente da equação resultante, tratando-a como z^{501}=1, e ainda esquece a origem.
  • CConta só as 502 raízes de z^{502}=1 e esquece a solução (0,0).
  • ESoma uma solução a mais, sem justificativa; só há 502 raízes e a origem.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗