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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Com os elementos 1, 2, \ldots, 10 são formadas todas as sequências (a_1, a_2, \ldots, a_7). Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é

  1. A
    \frac{7!}{10^7 \cdot 3!}.
  2. B
    \frac{10!}{10^7 \cdot 3!}.
  3. C
    \frac{3!}{10^7 \cdot 7!}.
  4. D
    \frac{10!}{10^3 \cdot 7!}.
  5. E
    \frac{10!}{10^7}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Cada posição da sequência (a_1,\ldots,a_7) pode receber qualquer um dos 10 elementos, e os elementos podem se repetir. Pelo princípio multiplicativo, o total de sequências é:

10\cdot10\cdots10 = 10^7.

Agora contamos as sequências sem elementos repetidos:

  1. a_1 tem 10 escolhas;
  2. a_2 tem 9 (não pode repetir a_1);
  3. a_3 tem 8, e assim por diante, até a_7, que tem 4 escolhas.

O número de casos favoráveis é

10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4=\frac{10!}{3!}.

A probabilidade é casos favoráveis dividido por casos totais:

P=\frac{10!/3!}{10^7}=\frac{10!}{10^7\cdot 3!}.

Isso coincide com a alternativa B.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa 7! no numerador, contando permutações de 7 elementos fixos em vez de arranjos de 10 tomados 7 a 7.
  • CInverte a fração e usa fatoriais que não correspondem a nenhuma contagem do problema.
  • DUsa 10^3 no denominador e 7!, misturando expoentes e fatoriais sem relação com o total 10^7.
  • EEsquece de dividir por 3!, contando 10! como se fossem 10 posições em vez de 7.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Princípio fundamental da contagem.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗