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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Equação da circunferência

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x^2 + y^2 = 4 e à reta y = 2(1 - x), então o valor do cosseno do ângulo P\hat{O}Q é igual a

  1. A
    -\dfrac{3}{5}.
  2. B
    -\dfrac{3}{7}.
  3. C
    -\dfrac{2}{5}.
  4. D
    -\dfrac{4}{5}.
  5. E
    -\dfrac{1}{7}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro achamos os pontos P e Q substituindo a reta na circunferência.

  1. x^2 + 4(1-x)^2 = 4
  2. x^2 + 4 - 8x + 4x^2 = 4 \Rightarrow 5x^2 - 8x = 0
  3. x = 0 ou x = \dfrac{8}{5}.

Para x=0: y = 2, então P=(0,2).
Para x=\dfrac{8}{5}: y = 2\left(1-\dfrac{8}{5}\right) = -\dfrac{6}{5}, então Q=\left(\dfrac{8}{5},-\dfrac{6}{5}\right).

Ambos estão a distância 2 da origem O (raio). Conferindo Q: \dfrac{64}{25}+\dfrac{36}{25}=4. Certo.

O cosseno do ângulo entre os vetores \vec{OP} e \vec{OQ} vem do produto escalar:

\cos P\hat{O}Q = \frac{\vec{OP}\cdot\vec{OQ}}{|OP|\,|OQ|} = \frac{0\cdot\frac{8}{5} + 2\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)}{2\cdot 2} = \frac{-\frac{12}{5}}{4} = -\frac{3}{5}

O sinal negativo indica ângulo obtuso, coerente com P no alto e Q abaixo do eixo x.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com o produto escalar correto; surge de erro ao dividir pelos módulos.
  • CEsquece de dividir por |OP||OQ|=4 de forma correta, obtendo -\frac{12}{5}\cdot\frac{1}{6} sem sentido.
  • DDivide o produto escalar por 3 em vez de 4 ou erra a coordenada de Q.
  • EResultado de contas erradas nas coordenadas de Q, sem ser consistente com a circunferência.

Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗