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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se o sistema de equações

\begin{cases} x + y + 4z = 2 \\ x + 2y + 7z = 3 \\ 3x + y + az = b \end{cases}

é impossível, então os valores de a e b são tais que

  1. A
    a = 6 e b \neq 4.
  2. B
    a \neq 6 e b \neq 4.
  3. C
    a \neq 6 e b = 4.
  4. D
    a = 6 e b = 4.
  5. E
    a é arbitrário e b \neq 4.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Um sistema linear 3×3 é impossível quando as equações são incompatíveis. Isso só pode acontecer se o determinante dos coeficientes for zero (se fosse diferente de zero, haveria solução única).

Passo 1: determinante dos coeficientes.

\begin{vmatrix}1&1&4\\1&2&7\\3&1&a\end{vmatrix}=1(2a-7)-1(a-21)+4(1-6)=2a-7-a+21-20=a-6

Logo a=6.

Passo 2: com a=6, descobrir para quais b o sistema é incompatível. Escalonando:

  1. L_2-L_1: y+3z=1.
  2. L_3-3L_1: -2y+(6-12)z=b-6, ou seja, -2y-6z=b-6.
  3. Somando 2\times(y+3z=1) a essa equação: 0=b-6+2=b-4.

A última equação fica 0=b-4.

  • Se b=4: 0=0, o sistema é possível e indeterminado.
  • Se b\neq 4: 0=\text{número não nulo}, o sistema é impossível.

Portanto, o sistema é impossível quando a=6 e b\neq4.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem confunde determinante nulo com impossível: com a=6 e b=4 o sistema é indeterminado, não impossível.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCom a\neq6 o determinante é não nulo e o sistema tem solução única, então não é impossível.
  • CCom a\neq6 o sistema é possível e determinado, e b=4 não gera incompatibilidade.
  • DCom a=6 e b=4 a última equação vira 0=0, e o sistema é possível e indeterminado.
  • ESe a\neq6 o sistema é possível e determinado qualquer que seja b, então a não é arbitrário.

Assunto: Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗