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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Um triângulo retângulo tem perímetro igual a \ell\sqrt{5}, em que \ell é o comprimento da hipotenusa. Se \alpha e \beta são seus ângulos agudos, com \alpha < \beta, então \sen(\beta - \alpha) é igual a

  1. A
    5 - 2\sqrt{5}.
  2. B
    -6 + 3\sqrt{5}.
  3. C
    \sqrt{16\sqrt{5} - 35}.
  4. D
    \sqrt{20\sqrt{5} - 44}.
  5. E
    \sqrt{18\sqrt{5} - 40}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Chame de \ell a hipotenusa. Os catetos medem \ell\,\sen\alpha e \ell\,\cos\alpha.

  1. O perímetro vale \ell(1+\sen\alpha+\cos\alpha)=\ell\sqrt5, então \sen\alpha+\cos\alpha=\sqrt5-1.

  2. Elevando ao quadrado: 1+2\sen\alpha\cos\alpha=(\sqrt5-1)^2=6-2\sqrt5.

  3. Logo \sen2\alpha=2\sen\alpha\cos\alpha=5-2\sqrt5\approx0{,}53.

  4. Como \alpha+\beta=90^\circ, temos \beta-\alpha=90^\circ-2\alpha. Assim, \sen(\beta-\alpha)=\sen(90^\circ-2\alpha)=\cos2\alpha.

  5. Como \alpha<\beta, temos \alpha<45^\circ, então 2\alpha<90^\circ e \cos2\alpha>0:

\cos2\alpha=\sqrt{1-(5-2\sqrt5)^2}=\sqrt{1-(25-20\sqrt5+20)}=\sqrt{20\sqrt5-44}.

Conferência numérica: \sqrt{20\sqrt5-44}\approx0{,}85, e 0{,}53^2+0{,}85^2\approx1.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ apenas \sen2\alpha, e não \cos2\alpha=\sen(\beta-\alpha).
  • BExpressão sem relação com o cálculo; não resulta de \sqrt{1-\sen^2 2\alpha}.
  • CErra a conta de (5-2\sqrt5)^2 ao tirar a raiz de 1-\sen^2 2\alpha.
  • ETambém erra ao desenvolver 1-(5-2\sqrt5)^2, chegando a coeficientes incorretos.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗