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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 1\text{ cm}. O seu maior lado mede 2\text{ cm} e sua área é de \frac{1}{\sqrt{2}}\text{ cm}^2. Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede

  1. A
    1 - \frac{1}{\sqrt{2}}.
  2. B
    \sqrt{2 - \sqrt{2}}.
  3. C
    \frac{1}{\sqrt{2}}.
  4. D
    \frac{2}{\sqrt{6}}.
  5. E
    \frac{3}{\sqrt{6}}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O maior lado mede 2 cm, que é exatamente o diâmetro da circunferência de raio 1 cm. Um triângulo inscrito com um lado igual ao diâmetro é retângulo, e esse lado é a hipotenusa (ângulo reto oposto ao diâmetro).

Sejam a e b os catetos. Então:

  1. Pitágoras: a^2+b^2=4.
  2. Área: \frac{ab}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}, logo ab=\sqrt{2}.

Para achar o menor cateto, calculamos (a-b)^2 e (a+b)^2:

(a+b)^2=4+2\sqrt{2},\qquad (a-b)^2=4-2\sqrt{2}

Supondo a<b, temos 2a=(a+b)-(b-a). Mas há um caminho mais direto: a^2 e b^2 são raízes de t^2-4t+2=0, pois a^2+b^2=4 e a^2b^2=2.

t=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=2\pm\sqrt{2}

O menor valor é a^2=2-\sqrt{2}, então:

a=\sqrt{2-\sqrt{2}}\ \text{cm}

Conferência: b^2=2+\sqrt{2} e a^2b^2=4-2=2, que bate com ab=\sqrt{2}. Além disso, b\approx 1{,}85<2, então a hipotenusa é de fato o maior lado.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExpressão sem relação com as condições; não satisfaz a^2+b^2=4 e ab=\sqrt{2} (dá cerca de 0{,}29, quando o menor lado é cerca de 0{,}77).
  • CValor \approx0{,}71 não satisfaz o sistema; seu quadrado 1/2 não é raiz de t^2-4t+2=0.
  • DSeu quadrado é 2/3, que não é raiz de t^2-4t+2=0.
  • ESeu quadrado é 3/2, que não é raiz de t^2-4t+2=0.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗