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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja P_n um polígono convexo regular de n lados, com n \ge 3. Considere as afirmações a seguir:

I. P_n é inscritível numa circunferência.

II. P_n é circunscritível a uma circunferência.

III. Se \ell_n é o comprimento de um lado de P_n e a_n é o comprimento de um apótema de P_n, então \frac{a_n}{\ell_n} \le 1 para todo n \ge 3.

É (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas III.
  4. D
    apenas I e II.
  5. E
    I, II e III.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Todo polígono regular tem circunferência circunscrita e circunferência inscrita, ambas com centro no centro do polígono. Então I e II são verdadeiras.

Para a III, lembre que o apótema a_n é a distância do centro ao lado. Num triângulo isósceles formado pelo centro e por um lado, com ângulo central \frac{2\pi}{n}, a metade do lado e o apótema são catetos de um triângulo retângulo com ângulo \frac{\pi}{n} no centro:

\tg\left(\frac{\pi}{n}\right)=\frac{\ell_n/2}{a_n}\ \Rightarrow\ \frac{a_n}{\ell_n}=\frac{1}{2\,\tg(\pi/n)}

A razão será menor ou igual a 1 apenas se \tg(\pi/n)\ge\frac12.

Teste com n grande: \frac{\pi}{n} fica próximo de 0, logo \tg(\pi/n) fica pequeno e a razão cresce sem limite. Por exemplo, para n=10: \tg 18^\circ\approx 0{,}325, então \frac{a_n}{\ell_n}\approx 1{,}54>1.

Portanto III é falsa: a afirmação não vale para todo n\ge3. (Faz sentido: com muitos lados, o polígono se aproxima de um círculo, e o lado fica pequeno perto do apótema.)

Só I e II são verdadeiras.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem testa só n = 3, 4, 5 (razões pequenas) e conclui que a razão é sempre ≤ 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que todo polígono regular também é circunscritível a uma circunferência (a inscrita).
  • Bignora que todo polígono regular também é inscritível numa circunferência.
  • Cconsidera só a III, que é falsa: a razão a_n/\ell_n cresce com n e passa de 1.
  • Einclui a III, que falha para n grande (ex.: n=10 dá razão ≈ 1,54).

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗