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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por

p(z) = z^4 + (2 + i)z^3 + (2 + i)z^2 + (2 + i)z + (1 + i).

Podemos afirmar que

  1. A
    nenhuma das raízes de p é real.
  2. B
    não existem raízes de p que sejam complexas conjugadas.
  3. C
    a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 + \sqrt{2}.
  4. D
    o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2\sqrt{2}.
  5. E
    o módulo de uma das raízes de p é igual a \sqrt{2}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos procurar raízes simples. Testando z=-1:

p(-1) = 1 - (2+i) + (2+i) - (2+i) + (1+i) = 1 - 2 - i + 1 + i = 0.

Logo -1 é raiz real. Dividindo p(z) por (z+1) (Briot-Ruffini com raiz -1), os coeficientes 1,\ 2+i,\ 2+i,\ 2+i,\ 1+i dão:

  1. 1
  2. (2+i) - 1 = 1+i
  3. (2+i) - (1+i) = 1
  4. (2+i) - 1 = 1+i
  5. (1+i) - (1+i) = 0 (resto, confirma a raiz)

Quociente: q(z) = z^3 + (1+i)z^2 + z + (1+i).

Agrupando: q(z) = z^2(z + 1 + i) + (z + 1 + i) = (z^2+1)(z+1+i).

As raízes de p são, portanto: -1, i, -i e -1-i.

Módulos: 1, 1, 1 e \sqrt{2}.

Conferindo as alternativas:

  • Soma dos módulos: 3+\sqrt{2}, não 2+\sqrt{2}.
  • Produto dos módulos: \sqrt{2}, não 2\sqrt{2}.
  • Há raiz real (-1), e i e -i são conjugadas.
  • A raiz -1-i tem módulo \sqrt{2}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A-1 é raiz real de p, como mostra p(-1)=0.
  • Bi e -i são raízes e são complexas conjugadas.
  • CA soma dos módulos é 1+1+1+\sqrt{2}=3+\sqrt{2}, não 2+\sqrt{2}.
  • DO produto dos módulos é 1\cdot1\cdot1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}, não 2\sqrt{2}.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗