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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Permutações

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior valor possível de N é igual a

  1. A
    10
  2. B
    15
  3. C
    20
  4. D
    25
  5. E
    30
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Resolução comentada

Queremos contar quantos cubos distinguíveis existem quando as 6 faces recebem as 6 cores, uma cor por face. Dois cubos são o mesmo se um pode ser girado até coincidir com o outro.

Contagem:

  1. Sem considerar rotações, há 6! = 720 modos de distribuir as 6 cores nas 6 faces.
  2. Um cubo tem 24 rotações possíveis: 6 escolhas para a face que fica embaixo e, para cada uma, 4 giros em torno do eixo vertical, ou seja, 6\cdot 4 = 24.
  3. Como as cores são todas diferentes, nenhuma rotação (além da identidade) deixa a coloração igual. Assim, cada cubo distinto aparece em exatamente 24 das 720 colorações.

Portanto:

N=\frac{720}{24}=30

Outra forma: fixe uma cor, por exemplo a azul, na face de baixo. A face de cima tem 5 escolhas de cor. Restam 4 cores para as 4 faces laterais, dispostas em círculo, e o número de arranjos circulares é (4-1)! = 6. Logo, 5\cdot 6 = 30.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa; não corresponde a nenhuma contagem correta das colorações distintas.
  • BResulta de usar 5!/(\text{algo}) ou contar mal os arranjos circulares; não é 720/24.
  • CCorresponde a \binom{6}{3}, que ignora a ordem das cores nas faces e não conta as colorações.
  • DValor sem justificativa; não vem da divisão de 720 pelas 24 rotações.

Assunto: Permutações.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗