Questão 17 (Matemática) do ITA 2016

Question

Uma esfera S_1, de raio R > 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S_2, de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera S_1 e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a

A
\frac{\pi R^5}{3r(R - r)}.
B
\frac{2\pi R^5}{3r(R - r)}.
C
\frac{\pi R^5}{r(R - r)}.
D
\frac{4\pi R^5}{3r(R - r)}.
E
\frac{5\pi R^5}{3r(R - r)}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Uma esfera S_1, de raio R > 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S_2, de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera S_1 e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a

A
\frac{\pi R^5}{3r(R - r)}.
B
\frac{2\pi R^5}{3r(R - r)}.
C
\frac{\pi R^5}{r(R - r)}.
D
\frac{4\pi R^5}{3r(R - r)}.
E
\frac{5\pi R^5}{3r(R - r)}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Use a seção meridiana do cone: um triângulo isósceles de vértice V, com a circunferência de raio R inscrita e outra de raio r tangente a ela e aos dois lados, entre V e a esfera maior.

Seja \alpha o semiângulo no vértice e d a distância de V ao centro de S_1. O centro de S_1 está no eixo, e a distância dele à geratriz é R, logo R = d\,\sen\alpha. Do mesmo modo, para S_2, a distância de V ao centro é d' e r = d'\,\sen\alpha.

As esferas são tangentes externamente: d - d' = R + r.
Então (R-r)/\sen\alpha = R + r, e portanto \sen\alpha = \dfrac{R-r}{R+r}.
\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}}{R+r} = \dfrac{2\sqrt{Rr}}{R+r}, e \tg\alpha = \dfrac{R-r}{2\sqrt{Rr}}.
d = \dfrac{R}{\sen\alpha} = \dfrac{R(R+r)}{R-r}.

A altura do cone é h = d + R = \dfrac{R(R+r) + R(R-r)}{R-r} = \dfrac{2R^2}{R-r}.

O raio da base é \rho = h\,\tg\alpha = \dfrac{2R^2}{R-r}\cdot\dfrac{R-r}{2\sqrt{Rr}} = \dfrac{R^2}{\sqrt{Rr}}, logo \rho^2 = \dfrac{R^4}{Rr} = \dfrac{R^3}{r}.

Volume:

V = \frac{1}{3}\pi\rho^2 h = \frac{\pi}{3}\cdot\frac{R^3}{r}\cdot\frac{2R^2}{R-r} = \frac{2\pi R^5}{3r(R-r)}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece o fator 2 da altura h=2R^2/(R-r).
CNão corresponde ao volume: o fator numérico não bate com \frac{1}{3}\pi\rho^2 h.
DFator 4 não aparece; resulta de erro no cálculo da altura ou do raio da base.
EFator 5 sem fundamento nas relações geométricas.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 17 no caderno Matemática do ITA 2016

Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗