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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja p o polinômio dado por p(x) = x^8 + x^m - 2x^n, em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as seguintes afirmações:

I. x = 0 é uma raiz dupla de p.

II. x = 1 é uma raiz dupla de p.

III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.

Destas, é (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    I, II e III.
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Resolução comentada

Os expoentes 8, m, n formam uma PG de razão q: m = 8q e n = 8q^2. A soma vale 14:

8 + 8q + 8q^2 = 14 \Rightarrow 4q^2 + 4q - 3 = 0 \Rightarrow q = \frac{1}{2} \text{ ou } q = -\frac{3}{2}.

Com q=-\frac{3}{2} os expoentes seriam negativos ou não inteiros (m=-12, n=18), e p não seria polinômio. Logo q=\frac12, m=4 e n=2:

p(x) = x^8 + x^4 - 2x^2 = x^2\,(x^6 + x^2 - 2).

I. O fator x^2 mostra que 0 é raiz dupla, desde que x^6+x^2-2 não se anule em 0: vale -2. Verdadeira.

II. Seja g(x)=x^6+x^2-2. Temos g(1)=0. Derivada: g'(x)=6x^5+2x, então g'(1)=8\neq0. Logo 1 é raiz simples de g, e portanto de p. Falsa.

III. Fatorando g com y=x^2: y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2). Assim g(x)=(x^2-1)(x^4+x^2+2). As raízes de y^2+y+2=0 são y=\frac{-1\pm i\sqrt7}{2}, não reais. Cada y dá duas raízes x com x^2=y, todas não reais (se x fosse real, x^2 seria real). São 4 raízes, e como x^4+x^2+2 tem coeficientes reais, nenhuma é real nem imaginária pura (pois y não é real negativo). Todas têm parte imaginária não nula. Verdadeira.

São verdadeiras I e III.

Alternativa C.

Pegadinha: A afirmação II engana: x=1 anula p, mas é raiz simples, pois p'(1)≠0.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AOmite a afirmação III, que é verdadeira: as 4 raízes de x^4+x^2+2 são não reais.
  • BConsidera x=1 raiz dupla, mas g'(1)=8≠0, então é raiz simples.
  • DInclui II, falsa, e exclui I, que é verdadeira por causa do fator x^2.
  • EInclui II, mas 1 é raiz simples de p.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Progressão geométrica, Polinômios.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗