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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são (0, 1), (2, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões de mesma área, então o valor de a é igual a

  1. A
    2\sqrt{5} - 1.
  2. B
    2\sqrt{6} - 1.
  3. C
    3\sqrt{5} - 4.
  4. D
    2\sqrt{7} - 2.
  5. E
    3\sqrt{7} - 5.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vértices em ordem: A(0,1), B(2,0), C(4,0), D(6,4).

Área total (fórmula do cadarço):

\text{soma}=(0\cdot0-2\cdot1)+(2\cdot0-4\cdot0)+(4\cdot4-6\cdot0)+(6\cdot1-0\cdot4)=-2+0+16+6=20

Área =10, então cada parte deve ter área 5.

Retas dos lados:

  • AB: y=1-\dfrac{x}{2}, de x=0 a 2.
  • BC: y=0.
  • CD: y=2(x-4)=2x-8, de x=4 a 6.
  • DA: y=1+\dfrac{x}{2}, de x=0 a 6.

Área à esquerda de x=a:

Até x=2, a área à esquerda é pequena: entre y=1-x/2 e y=1+x/2 a altura é x, e a área vale \int_0^2 x\,dx=2. Falta, então, cobrir 3 unidades de área.

Entre x=2 e x=4, a região vai de y=0 até y=1+x/2. A área é:

\int_2^4\left(1+\frac{x}{2}\right)dx=2+\frac{16-4}{4}=5

O acumulado até x=4 seria 2+5=7>5, então 2<a<4.

Para 2\le a\le4:

2+\int_2^a\left(1+\frac{x}{2}\right)dx=5
(a-2)+\frac{a^2-4}{4}=3

Multiplicando por 4:

4a-8+a^2-4=12\Rightarrow a^2+4a-24=0
a=-2+\sqrt{4+24}=-2+2\sqrt7

Valor: 2\sqrt7-2\approx3{,}29, dentro do intervalo.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A2\sqrt5-1\approx3{,}47 vem de uma equação do segundo grau errada, não resultante da área igual a 5.
  • B2\sqrt6-1\approx3{,}9 resulta de erro no cálculo da área acumulada à esquerda de x=a.
  • C3\sqrt5-4\approx2{,}7 não satisfaz a^2+4a-24=0.
  • E3\sqrt7-5\approx2{,}94 não satisfaz a^2+4a-24=0.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equação do 2º grau.

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Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗