Correção FUVEST 2027 · 1ª faseAcompanhe a resolução de cada questão da 1ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2016

Matemática · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det M : determinante da matriz M
M^T : transposta da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
I_n : matriz identidade n \times n
MN : produto das matrizes M e N
\mathrm{d}(P,r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
[a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
]a,b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado \overline{BC} tais que BM = MN = NC. Sendo \alpha a medida, em radianos, do ângulo M\hat{A}N, então o valor de \cos \alpha é

  1. A
    \frac{13}{14}.
  2. B
    \frac{14}{15}.
  3. C
    \frac{15}{16}.
  4. D
    \frac{16}{17}.
  5. E
    \frac{17}{18}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Para achar o ângulo entre AM e AN, basta calcular os comprimentos AM, AN e MN e aplicar a lei dos cossenos no triângulo AMN.

Seja L o lado do triângulo equilátero. Então BM = MN = NC = \frac{L}{3}.

  1. No triângulo ABM, temos AB = L, BM = \frac{L}{3} e \hat{B} = 60^\circ. Pela lei dos cossenos:

    AM^2 = L^2 + \frac{L^2}{9} - 2\cdot L\cdot\frac{L}{3}\cdot\frac{1}{2} = L^2\left(1+\frac19-\frac13\right)=\frac{7L^2}{9}

  2. Por simetria, AN = AM, então AN^2 = \frac{7L^2}{9}.

  3. No triângulo AMN, o lado oposto a \alpha é MN = \frac{L}{3}. Pela lei dos cossenos:

    \frac{L^2}{9} = \frac{7L^2}{9}+\frac{7L^2}{9}-2\cdot\frac{7L^2}{9}\cos\alpha

  4. Multiplicando por \frac{9}{L^2}:

    1 = 14 - 14\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = \frac{13}{14}

Portanto, \cos\alpha = \frac{13}{14}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bvalor que não resulta da lei dos cossenos com AM^2=AN^2=\frac{7L^2}{9} e MN=\frac{L}{3}.
  • Cnão decorre das medidas corretas; provável erro de conta no cálculo de AM^2.
  • Dvalor sem justificativa geométrica, obtido por erro nos comprimentos dos lados.
  • Evalor sem justificativa geométrica, obtido por erro nos comprimentos dos lados.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno Matemática do ITA 2016

Fonte: ITA 2016 · Matemática. Prova oficial ↗