Questão 19 (Matemática) do ITA 2015

Question

Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x - y = 0. Sabendo-se que a potência do ponto O = (0, 0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a

A
(2, 2\sqrt{2} - 2) e 2\sqrt{2} - 2.
B
\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2}\right) e \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2}.
C
(2, \sqrt{2} - 1) e \sqrt{2} - 1.
D
(2, 2 - \sqrt{2}) e 2 - \sqrt{2}.
E
(2, 4\sqrt{2} - 4) e 4\sqrt{2} - 4.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Equação da circunferência

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x - y = 0. Sabendo-se que a potência do ponto O = (0, 0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a

A
(2, 2\sqrt{2} - 2) e 2\sqrt{2} - 2.
B
\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2}\right) e \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2}.
C
(2, \sqrt{2} - 1) e \sqrt{2} - 1.
D
(2, 2 - \sqrt{2}) e 2 - \sqrt{2}.
E
(2, 4\sqrt{2} - 4) e 4\sqrt{2} - 4.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A circunferência é tangente ao eixo Ox, então o centro é (a, R), com raio R igual à ordem do centro.

Potência de O. A potência de O em relação a C é OT^2, sendo T o ponto de tangência com Ox. Como T=(a,0), temos OT = a, logo a^2 = 4 e a = 2 (primeiro quadrante). O centro é (2, R).

Tangência com a reta. A distância do centro à reta x - y = 0 deve ser igual a R:

\frac{|2 - R|}{\sqrt{2}} = R

Como a circunferência está no primeiro quadrante, abaixo da reta y=x (ela toca o eixo Ox em x=2), temos R<2, então |2-R| = 2-R:

2 - R = R\sqrt{2}
2 = R(\sqrt{2}+1)
R = \dfrac{2}{\sqrt{2}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = 2(\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}-2

Portanto, o centro é (2, 2\sqrt{2}-2) e o raio é 2\sqrt{2}-2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BDivide o raio correto por 4; o valor não satisfaz a condição de tangência com a reta.
CEsquece o fator 2 ao racionalizar, obtendo \sqrt{2}-1 em vez de 2(\sqrt{2}-1).
DValor 2-\sqrt{2} não satisfaz 2-R=R\sqrt{2}; vem de racionalização errada.
EDobra o raio correto (4\sqrt{2}-4\approx1{,}66), distância à reta não é igual a R.

Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Questão 19 no caderno Matemática do ITA 2015

Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗