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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de

  1. A
    \sqrt[3]{2}-h.
  2. B
    \sqrt[3]{2}-1.
  3. C
    (\sqrt[3]{2}-1)h.
  4. D
    h.
  5. E
    \frac{h}{2}.
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Resolução comentada

O líquido dentro do cone forma um cone menor, semelhante ao cone da taça, com o mesmo vértice. Em cones semelhantes, a razão entre os volumes é o cubo da razão entre as alturas.

Seja V o volume inicial, com altura h. Ao adicionar o mesmo volume, o líquido passa a ter volume 2V e altura h'.

  1. Razão entre os volumes: \dfrac{2V}{V}=2.

  2. Razão entre as alturas, elevada ao cubo: \left(\dfrac{h'}{h}\right)^3 = 2.

  3. Extraindo a raiz cúbica: h' = \sqrt[3]{2}\,h.

  4. A superfície subiu a diferença entre a nova altura e a original:

h' - h = \sqrt[3]{2}\,h - h = (\sqrt[3]{2}-1)\,h

A pergunta é quanto a superfície sobe, e não a nova altura. Por isso a resposta é a diferença, que depende de h.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece de multiplicar por h, e a D engana quem acha que dobrar o volume dobra a altura.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asubtrai h de \sqrt[3]{2} sem multiplicar: \sqrt[3]{2}-h não faz sentido dimensional, pois mistura número puro com comprimento.
  • Bdá a variação relativa de altura, mas esquece de multiplicar por h.
  • Dsupõe que dobrar o volume faz a altura subir o mesmo h, o que só valeria para volume proporcional à altura.
  • Esupõe que a altura sobe proporcionalmente ao volume, ignorando que o volume do cone cresce com o cubo da altura.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Semelhança e Teorema de Tales.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Matemática do ITA 2015

Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗