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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados \overline{PQ} e \overline{PR}, respectivamente, tais que o segmento \overline{MN} seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR. Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a medida de \overline{QR} é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a

  1. A
    5.
  2. B
    6.
  3. C
    8.
  4. D
    10.
  5. E
    15.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a propriedade das tangentes: os segmentos tirados de um mesmo ponto externo até uma circunferência têm a mesma medida.

Seja s o semiperímetro de PQR: s = \frac{25}{2} = 12{,}5. A circunferência inscrita toca os lados PQ e PR em pontos T_1 e T_2, com PT_1 = PT_2 = s - QR.

  1. Calcule a tangente a partir de P: PT_1 = 12{,}5 - 10 = 2{,}5.

Agora olhe o triângulo PMN, em que MN também é tangente à circunferência. Essa circunferência é, então, a ex-inscrita de PMN relativa ao vértice P, pois fica do lado de MN oposto a P e toca os prolongamentos de PM e PN (os pontos de tangência T_1 e T_2 ficam além de M e N).

Seja U o ponto de tangência em MN. Então MT_1 = MU e NT_2 = NU.

  1. Perímetro de PMN: PM + MN + NP = PM + MU + UN + NP.
  2. Substituindo: PM + MT_1 + NT_2 + NP = PT_1 + PT_2.
  3. Logo: 2 \cdot 2{,}5 = 5.

O perímetro do triângulo PMN é 5.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhum cálculo válido com as tangentes; valor sem justificativa.
  • CValor sem relação com 2(s-QR); não decorre da propriedade das tangentes.
  • DUsa apenas o lado QR=10, sem calcular as tangentes a partir de P.
  • EConfunde com 25-10, ou seja, a soma PQ+PR, que é o perímetro de PQR sem QR.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗