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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Dados o ponto A = \left(4, \dfrac{25}{6}\right) e a reta r : 3x + 4y - 12 = 0, considere o triângulo de vértices ABC, cuja base \overline{BC} está contida em r e a medida dos lados \overline{AB} e \overline{AC} é igual a \dfrac{25}{6}. Então, a área e o perímetro desse triângulo são, respectivamente, iguais a

  1. A
    \dfrac{22}{3} e \dfrac{40}{3}.
  2. B
    \dfrac{23}{3} e \dfrac{40}{3}.
  3. C
    \dfrac{25}{3} e \dfrac{31}{3}.
  4. D
    \dfrac{25}{3} e \dfrac{35}{3}.
  5. E
    \dfrac{25}{3} e \dfrac{40}{3}.
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Resolução comentada

O triângulo é isósceles, com AB = AC = \dfrac{25}{6} e base BC sobre r. A altura relativa a BC é a distância de A à reta, e o pé da altura é o ponto médio de BC.

  1. Distância de A a r:

    h = \frac{|3\cdot 4 + 4\cdot\frac{25}{6} - 12|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{\frac{50}{3}}{5} = \frac{10}{3}

  2. Metade da base, pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado por A, o pé da altura M e B:

    \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = \left(\frac{25}{6}\right)^2 - \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{625}{36} - \frac{400}{36} = \frac{225}{36}

    Logo \dfrac{BC}{2} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2} e BC = 5.

  3. Área:

    S = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{10}{3} = \frac{25}{3}

  4. Perímetro:

    2p = 2\cdot\frac{25}{6} + 5 = \frac{25}{3} + \frac{15}{3} = \frac{40}{3}

Área \dfrac{25}{3} e perímetro \dfrac{40}{3}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÁrea 22/3 não corresponde à base 5 e altura 10/3.
  • BÁrea 23/3 não corresponde à base 5 e altura 10/3.
  • CÁrea correta, mas o perímetro 31/3 está errado; o correto é 40/3.
  • DÁrea correta, mas o perímetro 35/3 está errado; o correto é 40/3.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗