PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 14 (Matemática) do ITA 2015
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.
Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.
\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere os pontos A = (0, -1), B = (0, 5) e a reta r : 2x - 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir:
I. \text{d}(A, r) = \text{d}(B, r).
II. B é simétrico de A em relação à reta r.
III. \overline{AB} é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C = (-3\sqrt{3}, 2) ou C = (3\sqrt{3}, 2).
É (são) verdadeira(s) apenas
- AI.
- BII.
- CI e II.
- DI e III.
- EII e III.
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Resolução comentada
Vamos testar cada afirmação.
I. A distância de um ponto (x_0,y_0) à reta ax+by+c=0 é \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. Aqui \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
- Para A=(0,-1): |0+3+6|=9, então \text{d}(A,r)=\dfrac{9}{\sqrt{13}}.
- Para B=(0,5): |0-15+6|=9, então \text{d}(B,r)=\dfrac{9}{\sqrt{13}}.
As distâncias são iguais: I é verdadeira.
II. Para B ser simétrico de A em relação a r, a reta r deve ser a mediatriz de \overline{AB}. O ponto médio de \overline{AB} é M=(0,2). Em r: 0-6+6=0, então M\in r. Porém \overline{AB} é vertical, e a mediatriz seria horizontal (y=2), enquanto r tem coeficiente angular \dfrac{2}{3}. Logo r não é perpendicular a \overline{AB}: II é falsa. (Os pontos são equidistantes de r, mas estão do mesmo lado dela ou o segmento não é perpendicular, então não há simetria.)
III. O lado mede \overline{AB}=6. O terceiro vértice fica na mediatriz y=2, a uma distância h=\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3 de M. Assim C=(\pm 3\sqrt3,\,2): III é verdadeira.
São verdadeiras I e III.
Alternativa D.
Pegadinha: A alternativa C engana: como I é verdadeira e o ponto médio de AB está em r, parece haver simetria, mas falta r ser perpendicular a AB.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AEsquece de verificar a III, que é verdadeira: a altura do triângulo equilátero de lado 6 é 3\sqrt3 e C está na mediatriz y=2.
- BA II é falsa, pois AB é vertical e r não é perpendicular a AB; só a igualdade de distâncias não garante simetria.
- CAceita a II como verdadeira apenas porque as distâncias são iguais e o ponto médio está em r.
- EInclui a II, que é falsa, e exclui a I, que é verdadeira.
Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Transformações geométricas e localização.
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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗