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Questão 16 (Matemática) do ITA 2015
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.
Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.
\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as afirmações a seguir:
I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento \overline{AB}, com comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência.
II. O lugar geométrico dos pontos (x, y) tais que 6x^3 + x^2y - xy^2 - 4x^2 - 2xy = 0 é um conjunto finito no plano cartesiano \mathbb{R}^2.
III. Os pontos (2, 3), (4, -1) e (3, 1) pertencem a uma circunferência.
Destas, é (são) verdadeira(s)
- Aapenas I.
- Bapenas II.
- Capenas III.
- DI e II.
- EI e III.
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Resolução comentada
Afirmação I. Sejam A=(a,0) e B=(0,b) com a^2+b^2=l^2. O ponto médio é M=(a/2,\,b/2). Então x^2+y^2=\dfrac{a^2+b^2}{4}=\dfrac{l^2}{4}, uma circunferência de centro na origem e raio l/2. Como a e b variam livremente, o ponto médio percorre a circunferência inteira. Verdadeira.
Afirmação II. Fatore a expressão: 6x^3+x^2y-xy^2-4x^2-2xy = x\,(6x^2+xy-y^2-4x-2y).
O fator entre parênteses: 6x^2+xy-y^2=(3x+y)(2x-y) e -4x-2y=-2(2x+y).
Tentando (3x+y+a)(2x-y+b): o termo em x dá 3b+2a=-4 e o termo em y dá b-a=-2. Logo b=a-2 e 3a-6+2a=-4, então a=2/5, que não é inteiro, mas basta verificar o termo constante: ab=(2/5)(-8/5)\neq0. Não fatora assim.
Outro modo: a equação 6x^2+xy-y^2-4x-2y=0 é uma cônica. Como (3x+y)(2x-y)=4x+2y não se aplica em geral, o conjunto é uma curva (hipérbole). Ela passa por (0,0) e por (2/3,0), e para cada x há valores reais de y na equação do 2º grau em y. Há infinitos pontos. Além disso, x=0 já é uma reta inteira. Falsa.
Afirmação III. Os pontos (2,3), (4,-1) e (3,1) são colineares? Os coeficientes angulares são \dfrac{-1-3}{4-2}=-2 e \dfrac{1-3}{3-2}=-2. Os pontos estão alinhados, logo não existe circunferência que passe pelos três. Falsa.
Só a I é verdadeira.
Alternativa A.
Pegadinha: A alternativa E engana quem não verifica o alinhamento dos pontos da III: três pontos quaisquer só definem uma circunferência se não forem colineares.
Por que as outras alternativas estão erradas
- BA afirmação II é falsa: o fator x já dá uma reta inteira (infinitos pontos).
- COs três pontos são colineares (coeficiente angular -2), então não pertencem a uma circunferência.
- DInclui a II, que é falsa porque o lugar geométrico contém a reta x=0.
- EInclui a III, falsa porque os pontos estão alinhados.
Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Equação da circunferência.
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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗