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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja A = (a_{ij})_{5 \times 5} a matriz tal que a_{ij} = 2^{i-1}(2j - 1), 1 \le i, j \le 5. Considere as afirmações a seguir:

I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão 2^i.

II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2.

III. \text{tr } A é um número primo.

É (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas II e III.
  4. D
    apenas I e III.
  5. E
    I, II e III.
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Resolução comentada

Temos a_{ij} = 2^{i-1}(2j-1).

I. Na linha i fixa, passando de j para j+1:

a_{i,j+1}-a_{ij}=2^{i-1}\,[(2j+1)-(2j-1)]=2^{i-1}\cdot 2=2^i.

A diferença é constante e vale 2^i, então é uma PA de razão 2^i. Verdadeira.

II. Na coluna j fixa, passando de i para i+1:

\frac{a_{i+1,j}}{a_{ij}}=\frac{2^{i}(2j-1)}{2^{i-1}(2j-1)}=2.

Como 2j-1\neq 0, a razão é constante e igual a 2, então é uma PG de razão 2. Verdadeira.

III. O traço é a soma dos elementos a_{ii}=2^{i-1}(2i-1):

  1. i=1: 1\cdot 1=1
  2. i=2: 2\cdot 3=6
  3. i=3: 4\cdot 5=20
  4. i=4: 8\cdot 7=56
  5. i=5: 16\cdot 9=144

Soma: 1+6+20+56+144=227.

Testando divisores primos até \sqrt{227}\approx 15{,}07: 2, 3 (soma dos algarismos 11), 5, 7 (7\cdot32=224, resto 3), 11 (11\cdot20=220, resto 7) e 13 (13\cdot17=221, resto 6). Nenhum divide, logo 227 é primo. Verdadeira.

As três afirmações são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que as colunas também formam PG de razão 2 e que o traço 227 é primo.
  • BErra ao concluir que o traço 227 não é primo; ele não tem divisor primo até 13.
  • CConsidera falsa a afirmação I, mas a razão da PA na linha i é 2^i.
  • DConsidera falsa a II, mas a razão entre linhas consecutivas é sempre 2.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão aritmética, Progressão geométrica.

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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗