PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 11 (Matemática) do ITA 2015
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.
Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.
\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Sejam \alpha e \beta números reais tais que \alpha, \beta, \alpha + \beta \in\ ]0, 2\pi[ e satisfazem as equações
Então, o menor valor de \cos(\alpha + \beta) é igual a
- A-1.
- B-\frac{\sqrt{3}}{2}.
- C-\frac{\sqrt{2}}{2}.
- D-\frac{1}{2}.
- E0.
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Resolução comentada
Em cada equação, chame u o cosseno ao quadrado e resolva a equação do 2º grau em u.
Equação de \alpha: com u=\cos^2\frac{\alpha}{2}, temos u=\frac{4}{5}u^2+\frac{1}{5}. Multiplicando por 5: 4u^2-5u+1=0, cujas raízes são u=1 ou u=\frac{1}{4}.
Como \alpha\in\,]0,2\pi[, temos \frac{\alpha}{2}\in\,]0,\pi[, e então \cos^2\frac{\alpha}{2}<1. Logo u=\frac14, ou seja, \cos\frac{\alpha}{2}=\pm\frac12, o que dá \frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{3} ou \frac{2\pi}{3}. Assim, \alpha=\frac{2\pi}{3} ou \alpha=\frac{4\pi}{3}.
Equação de \beta: com v=\cos^2\frac{\beta}{3}, temos v=\frac47v^2+\frac37. Multiplicando por 7: 4v^2-7v+3=0, com raízes v=1 ou v=\frac34.
Como \beta\in\,]0,2\pi[, temos \frac{\beta}{3}\in\,]0,\frac{2\pi}{3}[. Aqui v=1 exigiria \frac{\beta}{3}=0 ou \pi, que não estão no intervalo, então v=\frac34. Daí \cos\frac{\beta}{3}=\pm\frac{\sqrt3}{2}, e no intervalo só serve \frac{\beta}{3}=\frac{\pi}{6} (pois \frac{5\pi}{6}>\frac{2\pi}{3}). Logo \beta=\frac{\pi}{2}.
Soma: a condição \alpha+\beta<2\pi vale nos dois casos?
- \alpha=\frac{2\pi}{3}: \alpha+\beta=\frac{7\pi}{6}, e \cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}.
- \alpha=\frac{4\pi}{3}: \alpha+\beta=\frac{11\pi}{6}<2\pi, e \cos\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.
O menor valor é -\frac{\sqrt3}{2}.
Alternativa B.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AValor mínimo possível do cosseno, mas não é atingido pelos valores de α e β obtidos.
- CResulta de um ângulo errado para α ou β, como π/4, que não satisfaz as equações.
- DCorresponde a ângulos como 2π/3 ou 4π/3 isolados, não à soma α+β.
- ESeria o cosseno de α+β=3π/2, o que não ocorre com nenhum par de valores.
Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Equação do 2º grau.
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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗