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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere os polinômios em x \in \mathbb{R} da forma p(x) = x^5 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x. As raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão aritmética de razão \frac{1}{2} quando (a_1, a_2, a_3) é igual a

  1. A
    \left(\frac{1}{4},\ 0,\ \frac{5}{4}\right).
  2. B
    \left(\frac{1}{4},\ 1,\ \frac{5}{4}\right).
  3. C
    \left(\frac{1}{4},\ 0,\ -\frac{5}{4}\right).
  4. D
    \left(\frac{5}{4},\ 0,\ \frac{1}{4}\right).
  5. E
    \left(\frac{1}{4},\ -1,\ -\frac{1}{4}\right).
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Resolução comentada

O polinômio p(x)=x^5+a_3x^3+a_2x^2+a_1x não tem termo em x^4, então a soma das raízes (relações de Girard) é zero. Além disso, x=0 é raiz, pois não há termo independente.

Cinco raízes em P.A. de razão \frac{1}{2} e soma zero: o termo central é a média, ou seja, 0. As raízes são:

-1,\ -\tfrac12,\ 0,\ \tfrac12,\ 1

Então:

p(x)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-\tfrac14\right)

Desenvolvendo:

  1. (x^2-1)(x^2-\tfrac14)=x^4-\tfrac14x^2-x^2+\tfrac14=x^4-\tfrac54x^2+\tfrac14.
  2. Multiplicando por x: p(x)=x^5-\tfrac54x^3+\tfrac14x.

Comparando coeficientes: a_3=-\tfrac54, a_2=0 (não há termo em x^2) e a_1=\tfrac14.

Logo (a_1,a_2,a_3)=\left(\tfrac14,\ 0,\ -\tfrac54\right).

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem acerta as raízes, mas esquece o sinal negativo de a_3 ao expandir (x^2-1)(x^2-\frac14).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aacerta a_1 e a_2, mas erra o sinal de a_3, que é -\frac{5}{4}.
  • Bcoloca a_2=1 e a_3 com sinal errado; não há termo em x^2, logo a_2=0.
  • Dtroca os valores de a_1 e a_3 e ignora o sinal negativo de a_3.
  • Ea_2=-1 e a_3=-\frac14 não vêm do desenvolvimento do produto das raízes.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Progressão aritmética.

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Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗