Questão 7 (Matemática) do ITA 2014

Question

Para os inteiros positivos k e n, com k \le n, sabe-se que \frac{n+1}{k+1} \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k+1}.

Então, o valor de \binom{n}{0} + \frac{1}{2} \binom{n}{1} + \frac{1}{3} \binom{n}{2} + \dots + \frac{1}{n+1} \binom{n}{n} é igual a

A
2^n + 1.
B
2^{n+1} + 1.
C
\frac{2^{n+1} + 1}{n}.
D
\frac{2^{n+1} - 1}{n+1}.
E
\frac{2^n - 1}{n}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Para os inteiros positivos k e n, com k \le n, sabe-se que \frac{n+1}{k+1} \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k+1}.

Então, o valor de \binom{n}{0} + \frac{1}{2} \binom{n}{1} + \frac{1}{3} \binom{n}{2} + \dots + \frac{1}{n+1} \binom{n}{n} é igual a

A
2^n + 1.
B
2^{n+1} + 1.
C
\frac{2^{n+1} + 1}{n}.
D
\frac{2^{n+1} - 1}{n+1}.
E
\frac{2^n - 1}{n}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A soma pedida é S=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}.

A relação dada permite isolar o termo geral. Dividindo ambos os lados por n+1:

\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}

Substituindo na soma:

S=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}=\frac{1}{n+1}\left[\binom{n+1}{1}+\binom{n+1}{2}+\dots+\binom{n+1}{n+1}\right]

A soma de todos os binomiais de linha n+1 vale 2^{n+1}, e aqui falta apenas o termo \binom{n+1}{0}=1. Logo, a soma entre colchetes é 2^{n+1}-1.

Assim:

S=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}

Teste com n=1: 1+\frac12=\frac32, e a fórmula dá \frac{4-1}{2}=\frac32. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão usa a relação dada; 2^n+1 não bate nem com n=1 (daria 3, e a soma vale 3/2).
BEsquece de dividir por n+1 e erra o sinal do termo \binom{n+1}{0}, somando em vez de subtrair.
CDivide por n em vez de n+1 e troca -1 por +1.
EUsa 2^n-1 e divide por n, esquecendo que a soma passa para a linha n+1 do triângulo de Pascal.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Questão 7 no caderno Matemática do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗