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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam z, w \in \mathbb{C}. Das afirmações:

I. |z + w|^2 + |z - w|^2 = 2 (|z|^2 + |w|^2);

II. (z + \overline{w})^2 - (z - \overline{w})^2 = 4z\overline{w};

III. |z + w|^2 - |z - w|^2 = 4 \operatorname{Re}(z\overline{w}),

é (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

Use a propriedade |u|^2 = u\overline{u} e expanda cada afirmação.

Primeiro, calcule:

|z+w|^2 = (z+w)(\overline{z}+\overline{w}) = |z|^2 + z\overline{w} + \overline{z}w + |w|^2
|z-w|^2 = |z|^2 - z\overline{w} - \overline{z}w + |w|^2

Note que z\overline{w} e \overline{z}w são conjugados, então z\overline{w} + \overline{z}w = 2\,\text{Re}(z\overline{w}).

I. Somando as duas expressões, os termos cruzados se cancelam e sobra 2|z|^2 + 2|w|^2 = 2(|z|^2+|w|^2). Verdadeira (lei do paralelogramo).

II. Usando a^2 - b^2 com a = z+\overline{w} e b = z-\overline{w}, temos a^2-b^2 = (a-b)(a+b), com a-b = 2\overline{w} e a+b = 2z. Logo:

(z+\overline{w})^2-(z-\overline{w})^2 = 2\overline{w}\cdot 2z = 4z\overline{w}

Verdadeira.

III. Subtraindo as expressões do início, sobram os termos cruzados duplicados:

|z+w|^2-|z-w|^2 = 2(z\overline{w}+\overline{z}w) = 2\cdot 2\,\text{Re}(z\overline{w}) = 4\,\text{Re}(z\overline{w})

Verdadeira.

As três afirmações são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que II e III também são identidades válidas.
  • BConsidera III falsa, mas a diferença dos módulos dá 4\,\text{Re}(z\overline{w}).
  • CConsidera II falsa, mas é a diferença de quadrados, que resulta em 4z\overline{w}.
  • DConsidera I falsa, mas é a lei do paralelogramo, verdadeira.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗