Questão 2 (Matemática) do ITA 2014

Question

Considere as funções f, g : \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + m , g(x) = bx + n, em que a, b, m e n são reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = \mathbb{Z}, então a = 1;

III. Se a, b, m, n \in \mathbb{Z}, com a = b e m = -n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

A
apenas I.
B
apenas II.
C
apenas III.
D
apenas I e II.
E
nenhuma.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Função afim

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere as funções f, g : \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + m , g(x) = bx + n, em que a, b, m e n são reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = \mathbb{Z}, então a = 1;

III. Se a, b, m, n \in \mathbb{Z}, com a = b e m = -n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

A
apenas I.
B
apenas II.
C
apenas III.
D
apenas I e II.
E
nenhuma.

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Resolução comentada

As funções têm domínio \mathbb{Z}, então as imagens são conjuntos discretos: A=\{ak+m;\ k\in\mathbb{Z}\}. Vamos testar cada afirmação com contraexemplos.

I. Tome f(x)=x e g(x)=-x. Como x percorre todos os inteiros, A=B=\mathbb{Z}. Mas a=1\neq b=-1. Logo, A=B não implica a=b e m=n. Falsa.

II. Se A=\mathbb{Z}, não é obrigatório que a=1. Com a=-1 e m=0, f(x)=-x também tem imagem \mathbb{Z}. Falsa.

III. Tome a=b=1, m=0 e n=0 (vale m=-n): então A=B, e funciona. Para ver que nem sempre vale, use a=b=1, m=1, n=-1. Então A=\{x+1\}=\mathbb{Z} e B=\{x-1\}=\mathbb{Z}, iguais. Isso sugere verdade, mas tente a=b=2, m=1, n=-1: A=\{2x+1\} e B=\{2x-1\}. Ambos são os números ímpares, pois 2x-1=2(x-1)+1. Iguais de novo. Tente a=b=3, m=1, n=-1: A=\{3x+1\} deixa resto 1 na divisão por 3, e B=\{3x-1\} deixa resto 2. Então A\neq B. Falsa.

As três afirmações são falsas.

Alternativa E.

Pegadinha: Testar III só com a=1 ou a=2 faz parecer verdadeira, pois nesses casos as imagens coincidem; só com a=3 ela falha.

Por que as outras alternativas estão erradas

AI é falsa: f(x)=x e g(x)=-x têm a mesma imagem \mathbb{Z} com a\neq b.
BII é falsa: f(x)=-x também tem imagem \mathbb{Z}, com a=-1.
CIII é falsa: com a=b=3, m=1, n=-1, as imagens têm restos diferentes na divisão por 3.
DI e II são ambas falsas, como mostram os contraexemplos com a=\pm1.

Assuntos: Função afim, Conceito de função, composta e inversa.

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Questão 2 no caderno Matemática do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗