PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Matemática) do ITA 2014
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
A^t : transposta da matriz A
\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A
f \circ g : função composta das funções f e g
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}
\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
Das afirmações:
I. Se x, y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, com y \ne -x, então x + y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q};
II. Se x \in \mathbb{Q} e y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, então xy \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q};
III. Sejam a, b, c \in \mathbb{R}, com a < b < c. Se f\colon [a, c] \to [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,
é (são) verdadeira(s)
- Aapenas I e II.
- Bapenas I e III.
- Capenas II e III.
- Dapenas III.
- Enenhuma.
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Resolução comentada
Vamos testar cada afirmação procurando contraexemplos.
I. Falsa. Basta tomar x=\sqrt{2} e y=1-\sqrt{2}. Os dois são irracionais e y\ne -x, pois -x=-\sqrt2. Mas x+y=1, que é racional.
II. Falsa. Se x=0, que é racional, e y=\sqrt{2}, então xy=0, que é racional. O resultado só seria irracional para x\neq 0.
III. Verdadeira. Como a<b<c, o intervalo [a,c] é maior que [a,b]. Uma função injetora e sobrejetora seria uma bijeção entre eles. Precisamos ver se isso é possível, e precisamos mostrar que, sendo sobrejetora, ela não pode ser injetora.
Suponha f sobrejetora e injetora, ou seja, bijetora de [a,c] em [a,b]. Em geral existem bijeções entre intervalos de comprimentos diferentes, mas aqui o intervalo é fechado e a função não é suposta contínua, então precisamos de cuidado. Existe bijeção entre [a,c] e [a,b]? Sim: ambos têm a cardinalidade do contínuo, e é possível construir bijeções não contínuas entre eles. Logo, a afirmação III, que diz que sobrejetora implica não injetora, é falsa.
Contraexemplo: ambos os conjuntos têm a cardinalidade de \mathbb{R}, então existe uma bijeção f:[a,c]\to[a,b]. Ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Assim, as três afirmações são falsas.
Alternativa E.
Pegadinha: A alternativa D engana: parece que um intervalo maior não pode ser levado bijetivamente num menor, mas sem exigir continuidade isso é possível, pois ambos têm a cardinalidade do contínuo.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AI e II são falsas: \sqrt2+(1-\sqrt2)=1 e 0\cdot\sqrt2=0 são racionais.
- BI é falsa, e III também, pois existe bijeção (não contínua) entre os intervalos.
- CII é falsa para x=0, e III é falsa porque há bijeção entre [a,c] e [a,b].
- DConfunde com o caso de funções contínuas ou com a ideia de que o intervalo maior não pode ser injetado; existe bijeção entre os intervalos, então III é falsa.
Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Conceito de função, composta e inversa.
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Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗