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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A soma \sum_{n=1}^4 \frac{\log_{1/2} \sqrt[n]{32}}{\log_{1/2} 8^{n+2}} é igual a

  1. A
    \frac{8}{9}.
  2. B
    \frac{14}{15}.
  3. C
    \frac{15}{16}.
  4. D
    \frac{17}{18}.
  5. E
    1.
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Resolução comentada

Primeiro simplificamos o termo geral. Como \log_{1/2} aparece no numerador e no denominador, podemos escrever tudo em função de \log_{1/2} 2, que é um fator comum e se cancela.

Numerador: \log_{1/2}\sqrt[n]{32}=\log_{1/2}2^{5/n}=\frac{5}{n}\log_{1/2}2.

Denominador: \log_{1/2}8^{n+2}=\log_{1/2}2^{3(n+2)}=3(n+2)\log_{1/2}2.

Dividindo, o termo geral é:

a_n=\frac{5}{3n(n+2)}

Agora calculamos para n=1,2,3,4:

  1. a_1=\frac{5}{3\cdot 3}=\frac{5}{9}
  2. a_2=\frac{5}{3\cdot 8}=\frac{5}{24}
  3. a_3=\frac{5}{3\cdot 15}=\frac{1}{9}
  4. a_4=\frac{5}{3\cdot 24}=\frac{5}{72}

Somando com denominador comum 72: \frac{40}{72}+\frac{15}{72}+\frac{8}{72}+\frac{5}{72}=\frac{68}{72}=\frac{17}{18}.

Conferindo por soma telescópica: \frac{1}{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right). Então \sum_{n=1}^{4}=\frac12\left(1+\frac12-\frac15-\frac16\right)=\frac12\cdot\frac{34}{30}=\frac{17}{30}. Multiplicando por \frac53: \frac{17}{18}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor menor que o correto, típico de erro ao somar as frações ou de omitir um termo.
  • BNão corresponde à soma; resulta de erro ao simplificar o termo geral ou de aritmética nas frações.
  • CNão corresponde à soma dos quatro termos; erro de aritmética na soma das frações.
  • EValor 1 não é atingido; seria o caso de um termo geral incorreto ou de somar mais termos.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗