PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 19 (Matemática) do ITA 2014
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
A^t : transposta da matriz A
\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A
f \circ g : função composta das funções f e g
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}
\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
A equação do círculo localizado no 1o quadrante que tem área igual a 4\pi (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r : 2x - 2y + 5 = 0 e s : x + y - 4 = 0 é
- A(x - \frac{3}{4})^2 + (y - \frac{10}{4})^2 = 4.
- B(x - \frac{3}{4})^2 + (y - (2\sqrt{2} + \frac{3}{4}))^2 = 4.
- C(x - (2\sqrt{2} + \frac{3}{4}))^2 + (y - \frac{10}{4})^2 = 4.
- D(x - (2\sqrt{2} + \frac{3}{4}))^2 + (y - \frac{13}{4})^2 = 4.
- E(x - (2\sqrt{2} + \frac{3}{4}))^2 + (y - \frac{11}{4})^2 = 4.
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Resolução comentada
A área \pi r^2 = 4\pi dá r = 2. O centro (a,b) está a distância 2 das duas retas.
As retas r: y = x + \frac{5}{2} e s: y = -x + 4 têm coeficientes angulares 1 e -1, então são perpendiculares. O ponto de interseção delas é:
- x + \frac{5}{2} = -x + 4 \Rightarrow x = \frac{3}{4}.
- y = \frac{3}{4} + \frac{5}{2} = \frac{13}{4}.
Uma circunferência tangente a duas retas perpendiculares tem centro sobre uma bissetriz. Como as retas têm inclinação \pm 45^\circ, as bissetrizes são a horizontal y = \frac{13}{4} e a vertical x = \frac{3}{4}.
O raio é perpendicular a cada reta, então o centro, o ponto de tangência e a interseção formam um triângulo retângulo isósceles com catetos 2. A distância do centro à interseção é 2\sqrt{2}.
Centros possíveis:
- (\frac{3}{4} \pm 2\sqrt{2},\ \frac{13}{4});
- (\frac{3}{4},\ \frac{13}{4} \pm 2\sqrt{2}).
O círculo deve ficar no 1º quadrante, ou seja, a \ge 2 e b \ge 2 (senão cruzaria um eixo):
- x = \frac{3}{4} - 2\sqrt{2} < 0 não serve.
- x = \frac{3}{4} não serve, pois a < 2.
- Sobra \left(\frac{3}{4} + 2\sqrt{2},\ \frac{13}{4}\right) \approx (3{,}58;\ 3{,}25).
Conferindo em s: a + b - 4 = 2\sqrt{2}, e a distância é \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2. ✓
A equação é \left(x - (2\sqrt{2} + \frac{3}{4})\right)^2 + \left(y - \frac{13}{4}\right)^2 = 4.
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AO centro (\frac34,\frac{10}{4}) não está sobre nenhuma bissetriz das retas, então não é equidistante delas.
- BO centro (\frac34, 2\sqrt2+\frac34) tem a abscissa certa, mas a ordenada deveria ser \frac{13}{4}\pm2\sqrt2; a soma 2\sqrt2+\frac34 está errada.
- CO centro tem ordenada \frac{10}{4}, que não está na bissetriz horizontal y=\frac{13}{4}, então as distâncias às retas não são 2.
- EUsa a ordenada \frac{11}{4} em vez de \frac{13}{4}, então o centro sai da bissetriz e não é equidistante das retas.
Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.
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Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗