Questão 18 (Matemática) do ITA 2014

Question

Uma pirâmide de altura h = 1\text{ }cm e volume V = 50\text{ }cm^3 tem como base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se n - 3 diagonais que o decompõem em n - 2 triângulos cujas áreas S_i, i = 1, 2, ..., n - 2, constituem uma progressão aritmética na qual S_3 = \frac{3}{2}\text{ }cm^2 e S_6 = 3\text{ }cm^2. Então n é igual a

A
22.
B
24.
C
26.
D
28.
E
32.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Uma pirâmide de altura h = 1\text{ }cm e volume V = 50\text{ }cm^3 tem como base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se n - 3 diagonais que o decompõem em n - 2 triângulos cujas áreas S_i, i = 1, 2, ..., n - 2, constituem uma progressão aritmética na qual S_3 = \frac{3}{2}\text{ }cm^2 e S_6 = 3\text{ }cm^2. Então n é igual a

A
22.
B
24.
C
26.
D
28.
E
32.

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Resolução comentada

O volume da pirâmide é V=\frac{1}{3}\,A_{base}\,h. Com V=50 e h=1:

50=\frac{1}{3}A_{base}\cdot 1 \Rightarrow A_{base}=150\ \text{cm}^2

A base é a soma das áreas dos n-2 triângulos, que formam uma PA. Precisamos achar a razão e o primeiro termo.

De S_6=S_3+3r: 3=\frac{3}{2}+3r, logo r=\frac{1}{2}.
De S_3=S_1+2r: \frac{3}{2}=S_1+1, logo S_1=\frac{1}{2}.
A PA é S_k=\frac{k}{2}, ou seja, \frac12,1,\frac32,\dots
A soma dos m=n-2 primeiros termos é

\sum_{k=1}^{m}\frac{k}{2}=\frac{m(m+1)}{4}
Igualando à área da base: \frac{m(m+1)}{4}=150, então m(m+1)=600.
Como 24\cdot 25=600, temos m=24.
Logo n=m+2=26.

Verificação: a soma é \frac{24\cdot 25}{4}=150, como esperado.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana: m=n-2=24 é o número de triângulos, e quem esquece de somar 2 marca 24 como número de lados.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a conta; não satisfaz m(m+1)=600.
BToma n-2=22... na verdade confunde m=24 com n, esquecendo de somar 2.
DValor que não resulta de m(m+1)=600; excede o número correto de lados.
EValor sem fundamento na soma da PA; daria área da base muito maior que 150.

Assuntos: Progressão aritmética, Pirâmides e tronco de pirâmide.

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Questão 18 no caderno Matemática do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗