Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base \overline{BC} que dista 0{,}25\text{ cm} do vértice A e 0{,}75\text{ cm} da base \overline{BC}. Se o lado \overline{AB} mede \frac{\sqrt{\pi^2 + 1}}{2\pi}\text{ cm}, o volume desse sólido, em \text{cm}^3, é igual a

  1. A
    \frac{9}{16}.
  2. B
    \frac{13}{96}.
  3. C
    \frac{7}{24}.
  4. D
    \frac{9}{24}.
  5. E
    \frac{11}{96}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Primeiro descobrimos a altura do triângulo. O vértice A está a 0{,}25 cm do eixo e a base a 0{,}75 cm. Se estivessem em lados opostos do eixo, a altura seria 1 e AB^2 seria menor que h^2, o que é impossível. Logo ficam do mesmo lado e h = 0{,}75-0{,}25 = \frac12 cm.

Pelo enunciado, AB^2=\frac{\pi^2+1}{4\pi^2}=\frac14+\frac{1}{4\pi^2}. Como AB^2=h^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2:

  1. \left(\frac{BC}{2}\right)^2=\frac14+\frac1{4\pi^2}-\frac14=\frac1{4\pi^2}, então BC=\frac1\pi cm.
  2. Área: S=\frac12\cdot\frac1\pi\cdot\frac12=\frac1{4\pi}\ \text{cm}^2.

Como o triângulo não cruza o eixo, usamos o 2º teorema de Pappus-Guldin: V=2\pi\,d\,S, onde d é a distância do baricentro ao eixo.

  1. O baricentro fica a \frac23 da altura a partir de A, então d=0{,}25+\frac23\cdot\frac12=\frac14+\frac13=\frac7{12} cm.
  2. V=2\pi\cdot\frac7{12}\cdot\frac1{4\pi}=\frac{7}{24}\ \text{cm}^3.

Alternativa C.

Pegadinha: A distância de 0{,}75 pode enganar: a altura não é 1 nem 0{,}75, mas 0{,}75-0{,}25=0{,}5; e o baricentro deve ser medido a partir do eixo, não de A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o cálculo; não usa a área \frac1{4\pi} nem a distância do baricentro.
  • BResulta de usar uma distância errada do baricentro ao eixo, por exemplo tomando o ponto médio ou a distância de A.
  • DValor próximo de \frac7{24}, mas sem correspondência com Pappus; erro de conta no numerador.
  • EResulta de usar a distância do baricentro errada (por exemplo \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac13) ou o volume de um só cone.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Matemática do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗