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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere o trapézio ABCD de bases \overline{AB} e \overline{CD}. Sejam M e N os pontos médios das diagonais \overline{AC} e \overline{BD}, respectivamente. Então, se \overline{AB} tem comprimento x e \overline{CD} tem comprimento y < x, o comprimento de \overline{MN} é igual a

  1. A
    x - y.
  2. B
    \frac{1}{2}(x - y).
  3. C
    \frac{1}{3}(x - y).
  4. D
    \frac{1}{3}(x + y).
  5. E
    \frac{1}{4}(x + y).
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use coordenadas para ver o que acontece. Coloque A=(0,0) e B=(x,0) na base maior. A base menor CD é paralela a AB, então D=(p,h) e C=(p+y,h).

Os pontos médios das diagonais são:

  1. M, ponto médio de AC: M=\left(\dfrac{p+y}{2},\dfrac{h}{2}\right).
  2. N, ponto médio de BD: N=\left(\dfrac{x+p}{2},\dfrac{h}{2}\right).

As duas ordenadas são iguais a \dfrac{h}{2}, então MN é paralelo às bases. Seu comprimento é a diferença das abscissas:

MN=\frac{x+p}{2}-\frac{p+y}{2}=\frac{x-y}{2}

Assim, MN não depende de p nem de h: vale a semidiferença das bases. Esse é um resultado conhecido, o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio mede metade da diferença das bases.

Como y<x, o resultado é positivo, como esperado.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D e a E usam a soma x+y, lembrando a base média do trapézio, mas o segmento entre os pontos médios das diagonais envolve a diferença.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece de dividir por 2; x-y seria a diferença inteira das bases.
  • CUsa o fator 1/3, que vem de baricentro e não se aplica aos pontos médios das diagonais.
  • DUsa a soma das bases com fator 1/3; a relação envolve diferença, não soma.
  • EConfunde com a base média (x+y)/2 e ainda altera o fator; deveria ser diferença.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Ver como caiu na prova Questão 17 no caderno Matemática do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗