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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere a equação \sum_{n=0}^{5} a_n x^n = 0 em que a soma das raízes é igual a -2 e os coeficientes a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 e a_5 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a_0 = 1. Então \sum_{n=0}^{5} a_n é igual a

  1. A
    -21.
  2. B
    -\dfrac{2}{3}.
  3. C
    \dfrac{21}{32}.
  4. D
    \dfrac{63}{32}.
  5. E
    63.
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Resolução comentada

Os coeficientes formam uma PA... na verdade uma PG de razão q com a_0=1, então a_n=q^n e o polinômio é q^5x^5+q^4x^4+q^3x^3+q^2x^2+qx+1=0.

Pelas relações de Girard, a soma das raízes de um polinômio de grau 5 é -\dfrac{a_4}{a_5}.

  1. Substituindo: -\dfrac{a_4}{a_5}=-\dfrac{q^4}{q^5}=-\dfrac{1}{q}.
  2. Pelo enunciado, a soma vale -2: -\dfrac{1}{q}=-2, logo q=\dfrac{1}{2}.

Agora calculamos a soma dos coeficientes, que é a soma dos 6 primeiros termos da PG de primeiro termo 1 e razão \dfrac12:

S=\dfrac{1-q^6}{1-q}=\dfrac{1-\dfrac{1}{64}}{\dfrac12}=\dfrac{63}{64}\cdot 2=\dfrac{63}{32}.

Conferindo: 1+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\dfrac1{32}=\dfrac{32+16+8+4+2+1}{32}=\dfrac{63}{32}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem toma a razão q=2 (inverte -a_4/a_5), dando soma 63.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de usar q=-2, esquecendo o sinal de menos em -1/q=-2 ao igualar a soma das raízes.
  • BNão corresponde a nenhuma soma da PG; vem de confundir a soma das raízes com a soma dos coeficientes.
  • CUsa q=1/2, mas erra a soma da PG, esquecendo o termo a_0=1 ou o denominador.
  • EResulta de usar q=2, invertendo a razão ao aplicar Girard.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Progressão geométrica.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗