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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Seja n > 6 um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na divisão de n^2 por 6, o quociente é um número ímpar, então o resto da divisão de n por 6 é

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    5.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Escreva n = 6k + r, com r \in \{1,2,3,4,5\} (pois 6 não divide n). Então n^2 = 36k^2 + 12kr + r^2. Os dois primeiros termos são múltiplos de 6, e a parte 36k^2 + 12kr = 6(6k^2 + 2kr) tem quociente par, pois 6k^2 + 2kr é par. Assim, a paridade do quociente de n^2 por 6 depende só de r^2 dividido por 6.

Vamos testar cada resto:

  1. r=1: r^2 = 1 = 6\cdot 0 + 1. Quociente total par +\,0 = par.
  2. r=2: r^2 = 4 = 6\cdot 0 + 4. Quociente par.
  3. r=3: r^2 = 9 = 6\cdot 1 + 3. Quociente par +\,1 = ímpar.
  4. r=4: r^2 = 16 = 6\cdot 2 + 4. Quociente par.
  5. r=5: r^2 = 25 = 6\cdot 4 + 1. Quociente par.

Só r=3 dá quociente ímpar. Conferindo com um exemplo: n=9 dá n^2=81 = 6\cdot 13 + 3, e 13 é ímpar. Já n=7 dá 49 = 6\cdot 8+1, com quociente par.

Portanto o resto da divisão de n por 6 é 3.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom r=1, n^2 dá quociente par (ex.: 49 = 6\cdot 8+1).
  • BCom r=2, n^2 dá quociente par (ex.: 64 = 6\cdot 10+4).
  • DCom r=4, n^2 dá quociente par (ex.: 100 = 6\cdot 16+4).
  • ECom r=5, n^2 dá quociente par (ex.: 121 = 6\cdot 20+1).

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗