Questão 10 (Matemática) do ITA 2013

Question

Seja \lambda solução real da equação \sqrt{\lambda + 9} + \sqrt{2\lambda + 17} = 12. Então a soma das soluções z, com \text{Re } z > 0, da equação z^4 = \lambda - 32, é

A
\sqrt{2}.
B
2\sqrt{2}.
C
4\sqrt{2}.
D
4.
E
16.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais	\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros	i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais	\lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n	\operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M	[a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M	[a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\}	]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N}	\sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Seja \lambda solução real da equação \sqrt{\lambda + 9} + \sqrt{2\lambda + 17} = 12. Então a soma das soluções z, com \text{Re } z > 0, da equação z^4 = \lambda - 32, é

A
\sqrt{2}.
B
2\sqrt{2}.
C
4\sqrt{2}.
D
4.
E
16.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Passo 1: achar \lambda. Isolamos uma raiz e elevamos ao quadrado:

\sqrt{\lambda+9}=12-\sqrt{2\lambda+17}

\lambda+9 = 144 - 24\sqrt{2\lambda+17} + 2\lambda+17

24\sqrt{2\lambda+17} = \lambda + 152

Elevando de novo: 576(2\lambda+17)=\lambda^2+304\lambda+23104, ou seja, \lambda^2 - 848\lambda + 13312 = 0.

O discriminante é 848^2-4\cdot 13312 = 719104-53248=665856=816^2, então \lambda = \frac{848\pm 816}{2}, ou seja, \lambda=16 ou \lambda=832.

Testando: para \lambda=16, \sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12 ✓. Para \lambda=832, \sqrt{841}+\sqrt{1681}=29+41=70\neq 12 ✗ (raiz estranha). Logo \lambda=16.

Passo 2: resolver z^4=\lambda-32=-16. Escrevendo -16=16(\cos\pi+i\,\sen\pi), as raízes quartas têm módulo 2 e argumentos \frac{\pi+2k\pi}{4}, para k=0,1,2,3:

\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.

As raízes são z=\sqrt2(\pm1\pm i).

Passo 3: parte real positiva. Ficam z=\sqrt2+\sqrt2 i e z=\sqrt2-\sqrt2 i (argumentos \pi/4 e 7\pi/4).

Soma: 2\sqrt2.

Alternativa B.

Pegadinha: Ao elevar ao quadrado duas vezes surge a raiz estranha λ = 832, que não satisfaz a equação original e deve ser descartada pela verificação.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa apenas a parte real de uma raiz, sem somar as duas raízes com Re z > 0.
CResultado sem base: dobra indevidamente a soma correta.
DSoma módulos das duas raízes (2 + 2), ignorando que as partes reais valem √2.
EProvém de usar λ = 832 (raiz estranha) ou de confundir λ − 32 com 16.

Assuntos: Números complexos, Equação do 2º grau.

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Questão 10 no caderno Matemática do ITA 2013

Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗