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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Função exponencial

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação

8^{\sqrt{x+1}} + 44 \left(2^{\sqrt{x+1}}\right) + 64 = 19 \left(4^{\sqrt{x+1}}\right)

é igual a

  1. A
    8.
  2. B
    12.
  3. C
    16.
  4. D
    18.
  5. E
    20.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Note que as três potências têm base que é potência de 2. Fazendo t = 2^{\sqrt{x+1}}, temos 4^{\sqrt{x+1}} = t^2 e 8^{\sqrt{x+1}} = t^3.

A equação fica:

t^3 + 44t + 64 = 19t^2 \;\Rightarrow\; t^3 - 19t^2 + 44t + 64 = 0
  1. Testando t=-1: -1 - 19 - 44 + 64 = 0. Então t=-1 é raiz.
  2. Dividindo por (t+1), obtemos t^2 - 20t + 64 = 0.
  3. Resolvendo: t = \dfrac{20 \pm \sqrt{400-256}}{2} = \dfrac{20 \pm 12}{2}, ou seja, t=16 ou t=4.

Como t = 2^{\sqrt{x+1}} > 0, descartamos t=-1.

  • Se t=16: \sqrt{x+1} = 4 \Rightarrow x+1 = 16 \Rightarrow x = 15.
  • Se t=4: \sqrt{x+1} = 2 \Rightarrow x+1 = 4 \Rightarrow x = 3.

Ambos satisfazem x \ge -1 (condição da raiz quadrada).

Soma: 15 + 3 = 18.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma as raízes t=4 e t=16 (dando 20) sem voltar à variável x.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde à soma das raízes 15 e 3; provavelmente vem de erro ao resolver a equação em t.
  • BValor sem relação com as raízes x=3 e x=15; erro de conta ao voltar da variável t.
  • CSoma os valores de t (16 e 4) ou toma só uma raiz, em vez de converter para x e somar 15+3.
  • ESoma os valores de t (4+16=20) sem voltar para x.

Assuntos: Função exponencial, Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗