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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere a equação em \mathbb{C}, (z - 5 + 3 i)^4 = 1. Se z_0 é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o valor de |z_0| é

  1. A
    \sqrt{29}.
  2. B
    \sqrt{41}.
  3. C
    3\sqrt{5}.
  4. D
    4\sqrt{3}
  5. E
    3\sqrt{6}.
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Resolução comentada

Chame w = z - 5 + 3i. Então w^4 = 1, e as raízes quartas da unidade são w \in \{1,\ i,\ -1,\ -i\}.

Isolando z = w + 5 - 3i, obtemos as quatro soluções:

  1. w=1: z = 6 - 3i
  2. w=i: z = 5 - 2i
  3. w=-1: z = 4 - 3i
  4. w=-i: z = 5 - 4i

Todas têm parte real positiva e parte imaginária negativa, ou seja, estão no 4º quadrante. Lá o argumento principal fica entre \frac{3\pi}{2} e 2\pi e cresce à medida que o ponto se aproxima do eixo real positivo. O menor argumento é, portanto, o do ponto mais "inclinado para baixo", isto é, o de menor razão \frac{|\text{Im}|}{\text{Re}} no sentido de ficar mais próximo do eixo imaginário negativo, ou seja, maior \frac{|\text{Im}|}{\text{Re}}.

Calculando \frac{|\text{Im}|}{\text{Re}} para cada ponto:

  • 6-3i: \frac{3}{6}=0{,}5
  • 5-2i: \frac{2}{5}=0{,}4
  • 4-3i: \frac{3}{4}=0{,}75
  • 5-4i: \frac{4}{5}=0{,}8

O maior valor é 0{,}8, do ponto 5-4i. Logo z_0 = 5 - 4i.

Módulo:

|z_0| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}

Alternativa B.

Pegadinha: As soluções estão no 4º quadrante, onde o argumento principal é próximo de 2\pi; escolher o ponto de menor ângulo em módulo (como 5-2i, alternativa A) é o erro comum.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A\sqrt{29} é o módulo de 5-2i, que tem o maior argumento, não o menor.
  • C3\sqrt{5}=\sqrt{45} é o módulo de 6-3i, que não tem o menor argumento.
  • D4\sqrt{3}=\sqrt{48} não é o módulo de nenhuma das quatro soluções.
  • E3\sqrt{6}=\sqrt{54} não é o módulo de nenhuma das quatro soluções.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗