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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

A soma das raízes da equação em \mathbb{C}, z^8 - 17z^4 + 16 = 0, tais que z - |z| = 0, é

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    5.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Chame w = z^4. A equação vira w^2 - 17w + 16 = 0, cujas raízes são w = 1 e w = 16.

A condição z - |z| = 0 significa z = |z|. Como |z| é um número real não negativo, z precisa ser real e maior ou igual a zero.

Agora procuramos as raízes reais não negativas de cada caso:

  1. Se z^4 = 1, as raízes são 1, -1, i e -i. Só z = 1 satisfaz z = |z|.
  2. Se z^4 = 16, as raízes são 2, -2, 2i e -2i. Só z = 2 satisfaz z = |z|.

Conferindo: 1 - |1| = 0 e 2 - |2| = 0. Já -1 e -2 falham, pois -1 - 1 = -2 \neq 0. Os imaginários puros também falham, pois i - 1 \neq 0.

A soma das raízes que servem é 1 + 2 = 3.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera apenas a raiz z=1 e esquece a raiz z=2 vinda de z^4=16.
  • Bconsidera apenas a raiz z=2 e esquece a raiz z=1.
  • Dnão corresponde a nenhuma soma de raízes válidas; provavelmente vem de erro ao resolver w^2-17w+16=0 ou de contar raízes que não satisfazem a condição.
  • Enão corresponde a nenhuma soma de raízes válidas; provavelmente vem de erro ao resolver w^2-17w+16=0 ou de contar raízes que não satisfazem a condição.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗