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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:

I. A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C);

II. (A \cap C) \setminus B = A \cap B^C \cap C;

III. (A \setminus B) \cap (B \setminus C) = (A \setminus B) \setminus C,

é (são) verdadeira(s)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    apenas I e II.
  4. D
    apenas I e III.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

Use a definição X\setminus Y = X\cap Y^C e as leis de De Morgan.

I. A\setminus(B\cap C)=A\cap(B\cap C)^C=A\cap(B^C\cup C^C)=(A\cap B^C)\cup(A\cap C^C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C). Verdadeira.

II. (A\cap C)\setminus B=A\cap C\cap B^C=A\cap B^C\cap C. Verdadeira.

III. Desenvolva cada lado:

  1. Lado esquerdo: (A\cap B^C)\cap(B\cap C^C). Aparecem B^C e B juntos, e B\cap B^C=\varnothing. Logo o lado esquerdo é \varnothing.
  2. Lado direito: (A\setminus B)\setminus C=A\cap B^C\cap C^C, que não é vazio em geral.

Exemplo: A=\{1\} e B=C=\varnothing. O lado esquerdo é \{1\}\cap\varnothing=\varnothing, e o direito é \{1\}. Portanto III é falsa.

Só I e II são verdadeiras.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem não percebe que em III o lado esquerdo contém B e B^C ao mesmo tempo e por isso é vazio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que a II também é verdadeira, pois é só reordenar a interseção A\cap C\cap B^C.
  • Bignora que a I é verdadeira, pela lei de De Morgan aplicada a (B\cap C)^C.
  • Dconsidera a III verdadeira, mas (A\setminus B)\cap(B\setminus C) é vazio por conter B e B^C, e a II também vale.
  • Einclui a III, que é falsa: o lado esquerdo é vazio e o direito não.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗