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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, \sqrt{10}, \sqrt{17} e 5\ cm. O volume, em cm^3, do sólido VABC é

  1. A
    2.
  2. B
    4.
  3. C
    \sqrt{17}.
  4. D
    6.
  5. E
    5\sqrt{10}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Num triedro trirretângulo, as três arestas que saem de V são perpendiculares entre si. Chame de a, b, c as distâncias de V a A, B, C. Cada lado do triângulo ABC é a hipotenusa de um triângulo retângulo com vértice em V.

Assim, com os lados \sqrt{10}, \sqrt{17} e 5 (a atribuição dos lados aos pares de arestas não altera o volume):

  1. a^2+b^2=10
  2. b^2+c^2=17
  3. a^2+c^2=25

Somando as três: 2(a^2+b^2+c^2)=52, logo a^2+b^2+c^2=26.

Então:

  • c^2=26-10=16, portanto c=4;
  • a^2=26-17=9, portanto a=3;
  • b^2=26-25=1, portanto b=1.

Conferência: a^2+b^2=9+1=10, b^2+c^2=1+16=17 e a^2+c^2=9+16=25. Tudo bate.

O sólido VABC é um tetraedro com três arestas perpendiculares em V. Tomando como base o triângulo retângulo VAB (área \frac{ab}{2}) e altura c:

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{ab}{2}\cdot c=\frac{abc}{6}=\frac{3\cdot 1\cdot 4}{6}=2\ \text{cm}^3

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BUsa \frac{abc}{3}, esquecendo o fator \frac12 da área do triângulo da base, e obtém 4.
  • CNão resulta de nenhuma combinação correta das arestas 3, 1 e 4; é só um dos lados do enunciado.
  • DUsa abc/2 em vez de abc/6 (ou confunde com a área da face), obtendo 6.
  • EValor sem relação com as arestas; mistura os lados do triângulo ABC com a fórmula do volume.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗