PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 18 (Matemática) do ITA 2013
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
| \mathbb{N} : conjunto dos números naturais | \mathbb{C} : conjunto dos números complexos |
|---|---|
| \mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros | i : unidade imaginária, i^2 = -1 |
| \mathbb{R} : conjunto dos números reais | \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C} |
| \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n | \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C} |
| \det(M): determinante da matriz M | [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\} |
| M^t : transposta da matriz M | [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\} |
| A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} | ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\} |
| \sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} | \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N} |
\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[
A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A
\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B
\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
Das afirmações:
I. Duas retas coplanares são concorrentes;
II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas;
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas;
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo,
é (são) verdadeira(s) apenas
- AIII.
- BI e III.
- CII e III.
- DIII e IV.
- EI e II e IV.
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Resolução comentada
Vamos testar cada afirmação.
I. Falsa. Duas retas coplanares podem ser paralelas (ou coincidentes), e nesse caso não são concorrentes.
II. Falsa. Retas sem ponto em comum podem ser paralelas, que são coplanares. Só são reversas se, além disso, não existir plano que as contenha.
III. Verdadeira. Sejam r e s reversas. Pela reta r passa um plano \alpha paralelo a s, traçado com a direção de s por um ponto de r. Esse plano é único, porque r e a direção de s determinam o plano. Do mesmo modo, existe um único plano \beta que contém s e é paralelo a r. Os dois planos são paralelos entre si, pois ambos contêm as mesmas duas direções (de r e de s). Logo existem exatamente dois planos com essa propriedade.
IV. Verdadeira. Seja o quadrilátero reverso (não plano) ABCD, com M, N, P, Q os pontos médios de AB, BC, CD, DA. No triângulo ABC, MN é base média, então \overrightarrow{MN}=\tfrac12\overrightarrow{AC}. No triângulo ADC, QP é base média, então \overrightarrow{QP}=\tfrac12\overrightarrow{AC}. Assim \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}: dois lados opostos são paralelos e iguais, e MNPQ é um paralelogramo (de fato, plano).
São verdadeiras apenas III e IV.
Alternativa D.
Pegadinha: A alternativa C engana ao tratar "sem ponto em comum" como sinônimo de "reversas", esquecendo as retas paralelas.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AEsquece que a IV também é verdadeira, pelo teorema da base média (vale mesmo para quadrilátero reverso).
- BConsidera a I verdadeira, mas retas coplanares podem ser paralelas.
- CConsidera a II verdadeira, ignorando que retas paralelas também não têm ponto em comum.
- EInclui I e II, ambas falsas, pelo mesmo motivo das retas paralelas.
Assunto: Geometria espacial de posição.
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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗