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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Matemática) do ITA 2013

Matemática · Matemática: Cilindro

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais \mathbb{C} : conjunto dos números complexos
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária, i^2 = -1
\mathbb{R} : conjunto dos números reais \lvert z \rvert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) : conjunto das matrizes reais m \times n \operatorname{Re} z : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det(M): determinante da matriz M [a, b] : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
M^t : transposta da matriz M [a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
A \setminus B : \{x : x \in A\text{ e } x \notin B\} ]a, b[ : \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
\sum_{n=0}^k a_n x^n : a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_kx^k,\ k \in \mathbb{N} \sum_{n=0}^k a_n : a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k,\ k \in \mathbb{N}

\operatorname{Arg} z : argumento principal de z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} , \operatorname{Arg} z \in [0, 2\pi[

A^C : conjunto (evento) complementar do conjunto (evento) A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\overset{\wedge}{ABC} : ângulo formado pelos segmentos \overline{AB} e \overline{BC}, com vértice no ponto B.

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

No sistema xOy os pontos A = (2, 0), B = (2, 5) e C = (0, 1) são vértices de um triângulo inscrito na base de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilindro, a razão \frac{\text{volume}}{\text{área total da superfície}}, em unidade de comprimento, é igual a

  1. A
    1.
  2. B
    \frac{100}{105}.
  3. C
    \frac{10}{11}.
  4. D
    \frac{100}{115}.
  5. E
    \frac{5}{6}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A base do cilindro é a circunferência circunscrita ao triângulo ABC, então primeiro achamos o raio dela.

Os pontos A=(2,0) e B=(2,5) estão na reta vertical x=2. A mediatriz de \overline{AB} é a reta horizontal y=\frac{5}{2}, e o centro O=(a,b) tem b=\frac{5}{2}.

O centro é equidistante de A e C:

  1. (a-2)^2+\left(\frac52\right)^2=a^2+\left(\frac52-1\right)^2
  2. a^2-4a+4+\frac{25}{4}=a^2+\frac{9}{4}
  3. -4a+4+4=0, logo a=2.

Centro (2,\frac52) e raio r=\frac52, pois a distância até A é \frac52. Isso faz sentido: \overline{AB} é diâmetro, e o ângulo em C é reto, já que \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(2,-1)\cdot(2,4)=0.

Com r=\frac52 e altura h=8:

  • Volume: V=\pi r^2h=\pi\cdot\frac{25}{4}\cdot 8=50\pi.
  • Área total: A_t=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot\frac52\cdot\frac{21}{2}=\frac{105\pi}{2}.

Razão:

\frac{V}{A_t}=\frac{50\pi}{\frac{105\pi}{2}}=\frac{100}{105}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o cálculo; o resultado é 100/105, que não é 1.
  • CResulta de simplificar ou calcular errado; 10/11 não é igual a 100/105 (=20/21).
  • DUsa 115 no denominador, o que viria de erro na área total (por exemplo, somar termos errados).
  • EValor sem relação com V/A_t; não corresponde ao raio 5/2 e altura 8.

Assuntos: Cilindro, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2013 · Matemática. Prova oficial ↗