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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Um triângulo ABC tem lados com medidas a = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{ cm}, b = 1\text{ cm} e c = \frac{1}{2}\text{ cm}. Uma circunferência é tangente ao lado a e também aos prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então, o raio da circunferência, em \text{cm}, é igual a

  1. A
    \frac{\sqrt{3} + 1}{4}.
  2. B
    \frac{\sqrt{3}}{4}.
  3. C
    \frac{\sqrt{3} + 1}{3}.
  4. D
    \frac{\sqrt{3}}{2}.
  5. E
    \frac{\sqrt{3} + 2}{4}.
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Resolução comentada

Observe que a^2 + c^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 = b^2. Pela recíproca do teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo, com hipotenusa b e ângulo reto em B. Os catetos são a e c.

A circunferência ex-inscrita ao lado a tem raio r_a dado por r_a = \frac{S}{p-a}, em que S é a área e p é o semiperímetro.

  1. Área: S = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}.

  2. Semiperímetro: p = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}+3}{4}.

  3. Então p - a = \frac{\sqrt{3}+3}{4} - \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{3-\sqrt{3}}{4}.

  4. Raio:

    r_a = \frac{\sqrt{3}/8}{(3-\sqrt{3})/4} = \frac{\sqrt{3}}{2(3-\sqrt{3})}.

Racionalizando:

\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{2\cdot 6} = \frac{3\sqrt{3}+3}{12} = \frac{\sqrt{3}+1}{4}.

Conferência pela geometria: a ex-inscrita ao lado a (cateto BC) tangencia o prolongamento de BA e a hipotenusa; ela tem raio r_a tal que r_a = p - c no ângulo reto em B... na verdade o ângulo reto está em B, e a tangência dos prolongamentos de b e c parte de A, com r_a = p-a ou s no vértice A (ângulo de 60^\circ), o que dá o mesmo valor obtido.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado sem o termo +1, vindo de erro na racionalização.
  • CDenominador 3 não aparece no cálculo correto; erro ao simplificar a fração.
  • DÉ o valor do lado a, não do raio.
  • ESoma 2 no lugar de 1 no numerador; erro de conta.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗