Questão 8 (Matemática) do ITA 2012

Question

Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que -2i e i - \sqrt{3} são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) = x - 5 obtém-se resto zero e que p(1) = 20(5 + 2\sqrt{3}). Então, p(-1) é igual a

A
5(5 - 2\sqrt{3}).
B
15(5 - 2\sqrt{3}).
C
30(5 - 2\sqrt{3}).
D
45(5 - 2\sqrt{3}).
E
50(5 - 2\sqrt{3}).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que -2i e i - \sqrt{3} são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) = x - 5 obtém-se resto zero e que p(1) = 20(5 + 2\sqrt{3}). Então, p(-1) é igual a

A
5(5 - 2\sqrt{3}).
B
15(5 - 2\sqrt{3}).
C
30(5 - 2\sqrt{3}).
D
45(5 - 2\sqrt{3}).
E
50(5 - 2\sqrt{3}).

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como os coeficientes são reais, as raízes complexas vêm em pares conjugados. Então -2i e 2i são raízes, e i-\sqrt{3} e -i-\sqrt{3} também. Além disso, resto zero na divisão por x-5 significa que 5 é raiz. Isso dá as 5 raízes do polinômio de grau 5.

Forma fatorada, com a o coeficiente líder:

p(x)=a(x^2+4)\,[(x+\sqrt{3})^2+1]\,(x-5)

Os fatores quadráticos: (x-2i)(x+2i)=x^2+4 e (x+\sqrt3-i)(x+\sqrt3+i)=x^2+2\sqrt3x+4.

p(x)=a(x^2+4)(x^2+2\sqrt{3}x+4)(x-5)

Em x=1: p(1)=a\cdot5\cdot(5+2\sqrt3)\cdot(-4)=-20a(5+2\sqrt3).
Igualando a 20(5+2\sqrt3): -20a=20, logo a=-1.
Em x=-1: p(-1)=-1\cdot5\cdot(5-2\sqrt3)\cdot(-6)=30(5-2\sqrt3).

Portanto p(-1)=30(5-2\sqrt3).

Alternativa C.

Pegadinha: Esquecer que as raízes complexas aparecem em pares conjugados (2i e -i-\sqrt3) e que 5 também é raiz; sem isso não se monta o polinômio de grau 5.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito pequeno; resulta de erro no fator (x-5) ou no coeficiente a.
BErra o valor de p(-1) no fator (x-5), usando -6 de forma incorreta no produto.
DNão corresponde a a=-1 com os fatores corretos; erro de conta no produto.
ETambém não resulta do produto 5\cdot(-6)\cdot(-1)=30; erro de conta.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

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Questão 8 no caderno Matemática do ITA 2012

Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗