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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2012

Matemática · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{R}^+ : conjunto dos números reais não-negativos

i : unidade imaginária; i^2 = -1

\arg z : argumento do número complexo z

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}

A^C : complementar do conjunto A

P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

\overline{AB} : segmento de reta unindo os pontos A e B

\widehat{AB} : arco de circunferência de extremidades A e B

\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n,\ n \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a

  1. A
    \dfrac{5}{3}.
  2. B
    \dfrac{\sqrt{97}}{3}.
  3. C
    \dfrac{\sqrt{109}}{3}.
  4. D
    \dfrac{\sqrt{5}}{3}.
  5. E
    \dfrac{10}{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas e suas coordenadas são a média das coordenadas dos vértices.

  1. Abscissa: x_G = \dfrac{0+0+4}{3} = \dfrac{4}{3}.
  2. Ordenada: y_G = \dfrac{0+6+3}{3} = 3.

Logo, G = \left(\dfrac{4}{3},\, 3\right).

A distância de G até A=(0,0) vem da fórmula da distância entre dois pontos:

d = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 3^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{81}{9}} = \sqrt{\frac{97}{9}} = \frac{\sqrt{97}}{3}

Conferindo: 16 + 81 = 97, e 97 é primo, então não há simplificação da raiz.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum cálculo correto; a distância não é um valor racional simples, pois 97 não é quadrado perfeito.
  • CResulta de erro na soma dos quadrados (obtém 109 em vez de 97), por exemplo usando coordenadas erradas do baricentro.
  • DIgnora a ordenada ou erra a soma dos quadrados; \sqrt{5} não vem de \frac{16}{9}+9.
  • EConfunde a distância com algum segmento do triângulo ou com 2/3 de uma mediana mal calculada.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: ITA 2012 · Matemática. Prova oficial ↗